Одна таб­лет­ка ле­кар­ства весит 20 мг и со­дер­жит 5% ак­тив­но­го ве­ще­ства. Ребёнку в воз­расте до 6 ме­ся­цев врач про­пи­сы­ва­ет 1 мг ак­тив­но­го ве­ще­ства на каж­дый ки­ло­грамм веса в сутки. Сколь­ко таб­ле­ток этого ле­кар­ства сле­ду­ет дать ребёнку в воз­расте четырёх ме­ся­цев и весом 7 кг в те­че­ние суток?

На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние вы­плав­ки меди в 10 стра­нах мира (в ты­ся­чах тонн) за 2006 год. Среди пред­став­лен­ных стран пер­вое место по вы­плав­ке меди за­ни­ма­ли США, де­ся­тое место  — Ка­зах­стан. Какое место за­ни­ма­ла Ав­стра­лия?

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Не­за­ви­си­мая экс­перт­ная ла­бо­ра­то­рия опре­де­ля­ет рей­тинг R бы­то­вых при­бо­ров на ос­но­ве ко­эф­фи­ци­ен­та цен­но­сти, рав­но­го 0,01 сред­ней цены P, по­ка­за­те­лей функ­ци­о­наль­но­сти F, ка­че­ства Q и ди­зай­на D. Каж­дый из по­ка­за­те­лей оце­ни­ва­ет­ся целым чис­лом от 0 до 4. Ито­го­вый рей­тинг вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле

В таб­ли­це даны сред­няя цена и оцен­ки каж­до­го по­ка­за­те­ля для не­сколь­ких мо­де­лей элек­три­че­ских мя­со­ру­бок. Опре­де­ли­те наи­выс­ший рей­тинг пред­став­лен­ных в таб­ли­це мо­де­лей элек­три­че­ских мя­со­ру­бок.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В тре­уголь­ни­ке ABC  AC = BC, AB = 10, вы­со­та AH равна 3. Най­ди­те синус угла BAC.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции опре­делённой на ин­тер­ва­ле Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции равна 0.

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы сов­па­да­ет с цен­тром ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 76 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 16 спортс­ме­нов из Рос­сии, в том числе Игорь Чаев. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Игорь Чаев будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии.

Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, C, D, E, F, D₁ пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 3, а бо­ко­вое ребро равно 9.

Ло­ка­тор ба­ти­ска­фа, рав­но­мер­но по­гру­жа­ю­ще­го­ся вер­ти­каль­но вниз, ис­пус­ка­ет уль­тра­зву­ко­вой сиг­нал ча­сто­той 299 МГц. Ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа, вы­ра­жа­е­мая в м/с, опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле

где с = 1500 м/с  — ско­рость звука в воде, f₀  — ча­сто­та ис­пус­ка­е­мо­го сиг­на­ла (в МГц), f  — ча­сто­та отражённого сиг­на­ла (в МГц). Опре­де­ли­те наи­боль­шую воз­мож­ную ча­сто­ту отражённого сиг­на­ла f, если ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа не долж­на пре­вы­шать 5 м/с. Ответ вы­ра­зи­те в МГц.

Лодка в 8:00 вышла из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный в 15 км от А. Про­быв в пунк­те В 2 часа, лодка от­пра­ви­лась назад и вер­ну­лась в пункт А в 20:00 того же дня. Опре­де­ли­те (в км/ч) соб­ствен­ную ско­рость лодки, если из­вест­но, что ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [2 ; 33].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а бо­ко­вые рёбра равны 8.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щей через точку B и се­ре­ди­ну ребра MD па­рал­лель­но пря­мой AC, делит ребро MC в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны M.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Окруж­но­сти ра­ди­у­сов и с цен­тра­ми и со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся в точке Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке B, а боль­шую  — в точке Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка если

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень.

За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое-то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?

в)  При­ве­ди­те все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.