В квар­ти­ре, где про­жи­ва­ет Мария, уста­нов­лен при­бор учёта рас­хо­да хо­лод­ной воды (счётчик). 1 ян­ва­ря счётчик по­ка­зы­вал рас­ход 107 куб. м. воды, а 1 фев­ра­ля  — 123 куб. м. Какую сумму долж­на за­пла­тить Мария за хо­лод­ную воду за ян­варь, если цена 1 куб. м. хо­лод­ной воды со­став­ля­ет 21 руб. 70 коп.? Ответ дайте в руб­лях.

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена ни­ке­ля на мо­мент за­кры­тия бир­же­вых тор­гов во все ра­бо­чие дни с 3 по 24 ок­тяб­ря 2002 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли  — цена тонны ни­ке­ля в дол­ла­рах США. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую цену ни­ке­ля на мо­мент за­кры­тия тор­гов в пе­ри­од с 4 по 16 ок­тяб­ря (в дол­ла­рах США за тонну).

На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ван круг пло­ща­дью 2,8. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­но­го сек­то­ра.

Сво­е­му по­сто­ян­но­му кли­ен­ту ком­па­ния со­то­вой связи ре­ши­ла предо­ста­вить на выбор одну из ски­док. Либо скид­ку 20% на звон­ки або­нен­там дру­гих со­то­вых ком­па­ний в своём ре­ги­о­не, либо скид­ку 15% на звон­ки в дру­гие ре­ги­о­ны, либо скид­ку 30% на услу­ги мо­биль­но­го ин­тер­не­та. Кли­ент по­смот­рел рас­пе­чат­ку своих звон­ков и вы­яс­нил, что за месяц он по­тра­тил 525 руб­лей на звон­ки або­нен­там дру­гих ком­па­ний в своём ре­ги­о­не. 640 руб­лен на звон­ки в дру­гие ре­ги­о­ны и 370 руб­лей на мо­биль­ный ин­тер­нет. Кли­ент пред­по­ла­га­ет, что в сле­ду­ю­щем ме­ся­це за­тра­ты будут та­ки­ми же, и, ис­хо­дя из этого, вы­би­ра­ет наи­бо­лее вы­год­ную для себя скид­ку. Сколь­ко руб­лей со­ста­вит эта скид­ка, если звон­ки и поль­зо­ва­ние Ин­тер­не­том со­хра­нят­ся в преж­нем объёме?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В тре­уголь­ни­ке AВС АС  =  ВС, вы­со­та СН равна cos A  =  0,2. Най­ди­те АС.

Най­ди­те зна­че­ния вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции Функ­ция   — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 48. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра.

В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют 8 спортс­ме­нов из Ар­ген­ти­ны, 6 спортс­ме­нов из Бра­зи­лии, 5 спортс­ме­нов из Па­раг­вая и 6  — из Уруг­вая. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, вы­сту­па­ю­щий по­след­ним, ока­жет­ся из Ар­ген­ти­ны.

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ражённого на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые).

Рей­тинг R ин­тер­нет-ма­га­зи­на вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле

где   — сред­няя оцен­ка ма­га­зи­на по­ку­па­те­ля­ми (от 0 до 1),   — оцен­ка ма­га­зи­на экс­пер­та­ми (от 0 до 0,7) и K  — число по­ку­па­те­лей, оце­нив­ших ма­га­зин. Най­ди­те рей­тинг ин­тер­нет-ма­га­зи­на «Альфа», если число по­ку­па­те­лей, оста­вив­ших отзыв о ма­га­зи­не, равно 10, их сред­няя оцен­ка равна 0,45, а оцен­ка экс­пер­тов равна 0,67.

Ве­ло­си­пе­дист вы­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из го­ро­да А в город В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 117 км. На сле­ду­ю­щий день он от­пра­вил­ся об­рат­но в А со ско­ро­стью на 4 км/ч боль­ше преж­ней. По до­ро­ге он сде­лал оста­нов­ку на 4 часа. В ре­зуль­та­те ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из А в В. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно 17, а вы­со­та равна 7, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.)

а)  До­ка­жи­те, что дву­гран­ный угол при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды боль­ше, чем

б)  Най­ди­те пло­щадь впи­сан­ной сферы.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Угол C тре­уголь­ни­ка ABC равен 60°, D  — от­лич­ная от A точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах. Из­вест­но, что ВD : DC = 1 : 4. Най­ди­те синус угла A.

Най­ди­те все зна­че­ния a, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет хотя бы одна пара чисел x и y, удо­вле­тво­ря­ю­щих не­ра­вен­ству

Дано трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число (число не может на­чи­нать­ся с нуля).

а)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 20?

б)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 81?

в)  Какое наи­мень­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?