Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно 10, а вы­со­та равна 6, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.)

а)  До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет се­че­ние пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­щее через её вер­ши­ну и яв­ля­ю­ще­е­ся ту­по­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те пло­щадь впи­сан­ной сферы.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть MH  — вы­со­та пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды MABCDEF с вер­ши­ной M, тогда тре­уголь­ник AMH пря­мо­уголь­ный, MA  =  10 и MH  =  6, от­ку­да

AH = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: MA в квад­ра­те минус MH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 8.

Далее, AD = 2AH = 16. Рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­щее через точки A, M, D, по­лу­ча­ем

AM в квад­ра­те плюс MD в квад­ра­те минус AD в квад­ра­те = 100 плюс 100 минус 256 мень­ше 0,

по­это­му, по тео­ре­ме ко­си­ну­сов, угол AMD тупой. Таким об­ра­зом, на­при­мер, го­дит­ся се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью AMD. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

б)  Тре­уголь­ник ABH рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, AB = AH = 8. В тре­уголь­ни­ке AMB вы­со­та

MN = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: MA в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та .

В пра­виль­ном тре­уголь­ни­ке AHB вы­со­та

NH = дробь: чис­ли­тель: AB ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Центр O сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те MH, точка K ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани AMB лежит на от­рез­ке MN. Тре­уголь­ни­ки MOK и MNH по­доб­ны, по­это­му

MO : OK = MN : HN рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 6 минус r пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та умно­жить на r рав­но­силь­но r = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та минус 8,

где r  — ра­ди­ус сферы. Пло­щадь сферы

S = 4 Пи r в квад­ра­те = 64 левая круг­лая скоб­ка 11 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка Пи .

Ответ: б) 64 левая круг­лая скоб­ка 11 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Се­че­ние  — тре­уголь­ник, Пло­щадь сферы, Впи­сан­ные сферы, Пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная пи­ра­ми­да
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025