Угол ABC равен 30°, тогда по­то­му что яв­ля­ет­ся цен­траль­ным углом, опи­ра­ю­щим­ся на ту же хорду. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник AOC  — рав­но­сто­рон­ний, по­то­му что

Ответ: 3.

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку ABC:

Ответ: 3.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Впи­сан­ный угол до­пол­ня­ет по­ло­ви­ну цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же хорду, до 180°. Сле­до­ва­тель­но, По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке AOC по­лу­ча­ем:

Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ. Пусть боль­шая часть окруж­но­сти равна 7x, тогда мень­шая равна 5x. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но, мень­шая дуга окруж­но­сти равна 150°, а боль­шая  — 210°. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, по­это­му опи­ра­ю­щий­ся на боль­шую дугу угол АCВ равен 105°.

Ответ: 105.

Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не дуги, за­ключённой между ними, по­это­му он равен 46°.

Ответ: 46.

Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой, про­ведённой в точку ка­са­ния, из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги, за­ключённой между его сто­ро­на­ми. Сле­до­ва­тель­но, ве­ли­чи­на мень­шей дуги АВ окруж­но­сти равна 64°. Цен­траль­ный угол из­ме­ря­ет­ся дугой, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, по­это­му угол АОВ равен 64°.

Ответ: 64.

При­ме­ча­ние об из­ме­не­нии за­да­ния.

Ранее это за­да­ние и ана­ло­гич­ные к нему в От­кры­том банке были фор­му­ли­ро­ва­ны иначе.

За­да­ние. Угол между хор­дой AB и ка­са­тель­ной BC к окруж­но­сти равен 32°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну мень­шей дуги, стя­ги­ва­е­мой хор­дой AB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние. Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой, про­ведённой в точку ка­са­ния, из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги, за­ключённой между его сто­ро­на­ми. Зна­чит, ис­ко­мая ве­ли­чи­на дуги равна 64°.

Ответ: 64.