PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки C до прямой BD1.
Решение. а) Проекция
на плоскость ABCD — это прямая 
(диагонали квадрата), поэтому, по теореме о трех перпендикулярах,
б) Проведем отрезок CD1 и опустим перпендикуляр CH на BD1.
Искомое расстояние равно высоте CH прямоугольного треугольника BCD1 с прямым углом C:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
высота равна 
— середина ребра 
По теореме о средней линии треугольника 
следовательно, точки 
лежат в одной плоскости. 
следовательно, MTPQ — параллелограмм. Кроме того, 
а по теореме о трёх перпендикулярах 
(поскольку 
), поэтому этот параллелограмм — прямоугольник. 
По теореме Пифагора 
откуда 
как большая диагональ правильного шестиугольника со стороной 1. Далее, так как меньшая диагональ правильного шестиугольника со стороной 1 
Совершенно аналогично 
Поэтому точки D1, E, F1 лежат на сфере радиуса 2 с центром в точке B. Что и требовалось доказать.
а 
Отрезок BF — проекция отрезка BF1 на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах отрезок BF1 перпендикулярен ребру E1F1. Таким образом, искомое расстояние — длина отрезка BF1.
и 
По теореме Пифагора находим: 
Дополнительно проведём высоту и 
вдвое больше объема пирамиды 
поскольку у нее такое же основание и такая же высота, как у исходной призмы. Объём пирамиды A1ABC равен объёму пирамиды С1ABC. Тогда объём четырехугольной пирамиды A1BCC1B1 равен 
Дополнительно проведём высоту и медиану BM. Найдём её длину: 
Следовательно, 
Точки М и Т — середины ребер AD и A1B1 соответственно.
— это середина ребра 
Поэтому проекция прямой MT на плоскость 
по теореме о средней линии. Значит, она перпендикулярна прямой 
тогда по теореме о трех перпендикулярах и прямая MT перпендикулярна прямой 
а Q — середина ребра 
Заметим, что PMQT — трапеция, поскольку 
Продлим прямые MQ и PT и обозначим точку их пересечения 
В треугольнике MNP 
значит, QT является средней линией, и T — середина 
Треугольник MNP правильный. MT — медиана и высота. Значит, PT — перпендикуляр к MT и искомое расстояние равно 
перпендикулярны. Вершина S проектируется в центр шестиугольника, который лежит на BE, поэтому проекция SE на плоскость основания — прямая 
Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, 
Искомое расстояние — длина отрезка 
Ясно, что 
откуда 
Треугольник ASC равнобедренный, 
Тогда 
и 
Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости 
Составим равенство: 
Заметим теперь, что треугольник AEB равнобедренный и 
поэтому 
Тогда 
как диагонали квадрата. Поэтому по теореме о трех перпендикулярах 
Составим равенство 
поэтому 
Дополнительно проведём высоту и медиану AM. Найдём её длину: 
откуда получаем уравнение 
Следовательно, 
Диагональ боковой грани B1C составляет 
Докажите, что угол 
прямой.
поэтому, по определению, CE перпендикулярен всем прямым в этой плоскости, в том числе и прямой 
— проекция прямой 
на плоскость 
следовательно, 
и плоскостью 
Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора: 
Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора: 
Применим теорему косинусов для треугольника 
:
тогда 
Искомую высоту призмы находим по гипотенузе и катету из прямоугольного треугольника B1ВC: 
Опустим перпендикуляр из 
Значит, 
Следовательно, треугольники 
Поскольку BN : NO = 3 (по теореме о точке пересечения медиан), а 
(по условию), заключаем, что 
то есть 
Значит, отрезок NK — медиана треугольника BNS. Этот треугольник является равнобедренным, поскольку BN = SN как соответственные медианы равных треугольников. Следовательно, отрезок NK является также и высотой треугольника BNS. Точки N, P и K лежат на одной прямой, а потому прямая NP перпендикулярна прямой BS.
Из треугольника SOB получим 
Тогда в треугольнике KNB
Тогда угол NKB равен 90°, то есть прямые 
и вершину 
значит, 
Кроме того, 
следовательно, плоскость 
Опустим перпендикуляр NH из точки N на прямую 
кроме этого, 
(поскольку лежит в плоскости 
), следовательно, 
и является искомым расстоянием.
с прямым углом N.
Тангенс угла между прямыми DM и AL равен 
L — середина ребра MB. 
Поэтому, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, 
MO — высота пирамиды 
Тогда OL — средняя линия треугольника BDM, следовательно, 
Поэтому 
По условию 
Далее, из прямоугольного треугольника AOL находим: 
поскольку OL — средняя линия треугольника 
Далее, из прямоугольного треугольника MOD находим искомую высоту MO пирамиды MABCD:
до прямой 
больше, чем расстояние от вершины A1 до прямой BD1.
перпендикуляр 
на прямую 
поэтому 
а значит, отрезок 
В то же время 
— катет этого треугольника. Поэтому 
откуда 
Далее находим:
и 
перпендикулярны.
и DE, следовательно, прямые 
равно расстоянию между прямыми 
:
перпендикулярна прямой 
поскольку 
а 
BF — проекция 
на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах 
Он прямоугольный, 
высота равна 
следовательно, точки 
лежат в одной плоскости.
следовательно, точки 
а по теореме о трёх перпендикулярах, поскольку 
получим 
поэтому этот параллелограмм — прямоугольник.
— середина ребра 
Тогда 
поэтому точки 
лежат в одной плоскости и являются вершинами трапеции.
так что трапеция равнобедренная.
В треугольнике PMT проведем высоты 
поэтому 
а 
и BD перпендикулярны.
AC является проекцией 
и проведем в плоскости грани 
прямую EF, параллельную прямой 
поэтому и 
а значит, прямая AF является проекцией прямой AE на плоскость ABC. Поскольку 
то 
а следовательно, и 
согласно теореме о трех перпендикулярах.
: 
: 
на плоскость 
ее проекцией является прямая 
Так как 
по теореме о трех перпендикулярах, следует, что 
Таким образом, в прямоугольнике 
диагонали перпендикулярны, поэтому он является квадратом, следовательно, 
и пересекается с ней в середине 
тогда искомое расстояние равно расстоянию между проекциями прямых на плоскость 
то есть расстоянию от точки M до прямой 
Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника 
то скалярное произведение векторов 
Введем систему координат с началом 
тогда 
получим координаты векторов 
и 
По условию 
а значит, что 
это возможно, когда 
то есть при 
или 
однако, ввиду того, как введена система координат, a и b имеют одинаковые знаки, значит, 
тогда 
Прямая PE параллельна прямой BQ, следовательно, необходимо проверить, что 
то есть прямая BQ перпендикулярна прямой B1P.
N1M1 = 20.
Плоскости KLM и ABC пересекаются по прямой KN, которая параллельна прямой LM и проходит через 
Таким образом, LM = KO, а T — точка пересечения диагоналей параллелограмма KLMO. Следовательно, T — середина LO, а значит, точка T лежит на LO.
и 
Тогда
На ребре D1C1 взята точка N так, что 
значит, 
следовательно, 
где 
откуда
