1. Тип Д11 C3 № 484597 
Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств
Методы алгебры: Группировка
Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию
i
Решите систему неравенств 
Решение. Область допустимых значений первого неравенства задается соотношениями:
На области допустимых значений справедливы равносильности:
Поэтому на ОДЗ имеем:
Заметим, что
Поэтому
Окончательно имеем:
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы неравенств | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ:
484597
Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств
Методы алгебры: Группировка
неравенство 
определено, и его знак совпадает со знаком произведения 
Поскольку на указанном отрезке числитель и знаменатель первой дроби положительны, получаем: 
откуда 
или 
Тем самым, множество решений системы: 
и 
Рассмотрим два случая. 
Тогда
Получаем, что 
следовательно, при 
На этом множестве основание и аргумент множителя 
оба больше 1, поэтому он положителен. Тогда остаётся решить неравенство 
что на ОДЗ даёт 
откуда 
и окончательно с учётом ОДЗ: 
или 
При 
и 
будем также иметь: 
откуда находим решение первого неравенства системы: 
получаем: 
получаем 
при всех 
При условиях 
и 
имеем 
откуда получаем множество решений системы: 
при всех 
получаем неравенство
или 
поэтому 
Следовательно,
или 
или 
откуда находим: 
или 
получаем: 
или 
получаем: 
или 
получим множество решений исходной системы неравенств: 
или 
откуда: 
или 
или 
получаем решение исходной системы неравенств: 
получаем: 
откуда множество решение первого неравенства 
получаем решение исходной системы неравенств: 
получаем: 
откуда получаем множество решений первого неравенства 
или 
откуда получаем множество решений второго неравенства 
получаем решение исходной системы неравенств: 
получаем 
или 
откуда находим множество решений первого неравенства системы: 
получаем множество решений исходной системы 
или 
получаем решение исходной системы неравенств: 
тогда данное неравенство принимает вид 
получаем
и 
исходное неравенство равносильно неравенству: 
получаем: 
получаем множество решений второго неравенства: 
тогда данное неравенство принимает вид 
получаем
и 
исходное неравенство равносильно неравенству
получаем 
получаем решения второго неравенства: 
или 
или 
или 
Рассмотрим два случая. 
тогда имеем:
можно отметить, что первый множитель произведения 
неположителен. Тогда второе неравенство можно решить иначе. Отметим, что число 0 является его решением и рассмотрим значения 
Тогда 
Поскольку при 
аргумент логарифма больше 1, основание логарифма должно быть меньше 1. Тогда на области 
откуда 
Вместе с числом 0 это и даёт ответ.
Тогда имеем систему:
Тогда имеем систему:
Тогда имеем систему
Тогда имеем систему:
откуда находим решение первого неравенства системы 
Полученные значения переменной удовлетворяют условию 
Имеем:
получаем: 
Решение второго неравенства исходной системы: 
получаем решение исходной системы неравенств:
получаем: 
Из 
получаем: 
или 
получаем: 
откуда 
откуда находим решение первого неравенства системы: 
получаем: 
Множество решений второго неравенства исходной системы: 
получаем решение исходной системы неравенств: 
тогда данное неравенство принимает вид:
левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, следовательно, неравенство выполняется при всех 
Далее имеем:
тогда данное неравенство принимает вид:
левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, следовательно, неравенство выполняется при всех 
тогда неравенство примет вид:
получим 
откуда 
получим 
откуда 
имеем:
Имеем:
получаем решение исходной системы неравенств: 
при всех значениях переменной, поэтому первое неравенство можно умножить на 
не меняя его знака, откуда имеем:
получаем решение исходной системы неравенств: 
и 
Получаем, что 
Тогда:
следовательно, при 
первое неравенство исходной системы верно.
то
то
или 
Получаем 
находим решение системы: 
Тогда неравенство принимает вид 
откуда 
Таким образом, 
и 
для любого 
воспользовавшись тождеством 
и методом интервалов, получаем:
и 
Имеем 
т. е., 
откуда и получаем решение данной системы: 
получаем: 
откуда находим решение первого неравенства системы: 
или 
откуда 
или 
Пересекая полученные решения найдём множество решений исходной системы неравенств: 
Имеем:
Решение первого неравенства исходной системы: 
или 
откуда находим множество решений первого неравенства системы: 
получаем: 
или 
получаем: 
или 
получаем решение исходной системы неравенств:
то
то 
Получаем: 
то есть 
находим решение системы: 
или 
имеем: 
Откуда, возвращаясь к исходной переменной, получим:
находим решение системы.
то есть при 
Тогда неравенство принимает вид 
откуда 
или 
При всех допустимых x основание степени положительно и, следовательно, 
Значит, неравенство выполняется только при 
: 
: 
: 
то есть при 
Тогда неравенство принимает вид 
и 
и 
а значит, 
и 
а значит, оба слагаемых в левой части первого неравенства положительны. Поскольку слагаемые взаимно обратные, их сумма не меньше двух. Тогда неравенство выполнено в том и только в том случае, когда оба слагаемых равны 1.
получаем: 
откуда находим решение первого неравенства системы 
или 
откуда находим решение второго неравенства системы: 
получаем решение исходной системы неравенств: 
получим:
получаем решение исходной системы неравенств: 
тогда неравенство примет вид: 
получаем решение исходной системы неравенств: 
тогда первое неравенство запишется в виде:
и числа 0 и −3.