ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д11 C3 № 501217 Добавить в вариант

Решите систему неравенств

$система выражений новая строка 2 умножить на 25 в степени x минус 5 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0, новая строка левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 2. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим первое неравенство системы. Положим $t=5 в степени x .$ Тогда неравенство принимает вид $2t в квадрате минус 5t плюс 2 меньше или равно 0,$ откуда $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно t меньше или равно 2.$ Таким образом, $2 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 5 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 меньше или равно x меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2.$

Рассмотрим второе неравенство системы. Так как $x в квадрате плюс 1 больше 0$ и $7x в квадрате минус 3x плюс 1 больше 0$ для любого $x принадлежит R ,$ воспользовавшись тождеством $x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка y правая круглая скобка =y в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x правая круглая скобка$ и методом интервалов, получаем:

$левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$ $левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$

$равносильно десятичный логарифм левая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно десятичный логарифм 1 равносильно десятичный логарифм левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби .$ $равносильно десятичный логарифм левая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно десятичный логарифм 1 равносильно$
$равносильно десятичный логарифм левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби .$

Сравним числа $a= логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2$ и $b= дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби .$ Имеем $7a=7 логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2= логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 128 больше 3=7b,$ а, значит, $a больше b,$ т. е., $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби ,$ откуда и получаем решение данной системы: $0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби .$

Ответ: $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы	2
Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Источник: Добровольный тренировочный ЕГЭ Санкт-Петербург 2013

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции, Неравенства смешанного типа, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь