Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C3 № 511863

Решите систему неравенств  система выражений  новая строка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка корень из 4 минус 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 0 , новая строка \log _x в квадрате левая круглая скобка 15 плюс x минус 2x в квадрате правая круглая скобка минус \log _x в квадрате дробь: числитель: 2x плюс 5, знаменатель: 3 минус x конец дроби меньше или равно 1 . конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Найдем ограничения на x системы в целом.

 система выражений  новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 4 , новая строка 2x в квадрате минус x минус 15 меньше 0 , новая строка дробь: числитель: 2x плюс 5, знаменатель: x минус 3 конец дроби меньше 0 , новая строка x не равно 0 , новая строка x не равно \pm 1  новая строка конец системы . равносильно система выражений  новая строка x меньше или равно 2 , новая строка дробь: числитель: 1 минус корень из 1 плюс 120, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1 плюс 11, знаменатель: 4 конец дроби , новая строка минус 2,5 меньше x меньше 3 , новая строка x не равно 0 , новая строка x не равно \pm 1  новая строка конец системы . равносильно система выражений  новая строка минус 2,5 меньше x меньше или равно 2 , новая строка x не равно 0 , новая строка x не равно \pm 1 . конец системы .

 

Очевидно, равенство в первом нестрогом неравенстве будет выполнено при x=2 или x=1,5. При x не равно 2 и x не равно 1,5 будем также иметь: 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка меньше 2 в кубе  равносильно x меньше 1,5.

Таким образом, решения первого неравенства представляются множеством

M= левая круглая скобка минус 2,5; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;1,5 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка .

Теперь рассмотрим второе неравенство системы.

\log _x в квадрате \left| 2x плюс 5 | плюс \log _x в квадрате \left| x минус 3 | минус \log _x в квадрате \left| 2x плюс 5 | плюс \log _x в квадрате \left| x минус 3 | меньше или равно 1 равносильно 2\log _x в квадрате \left| x минус 3 | меньше или равно 1 равносильно

 равносильно \log _x в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 9 правая круглая скобка меньше или равно \log _x в квадрате x в квадрате равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 6x плюс 9 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1,5 правая круглая скобка больше или равно 0.

Решим последнее неравенство методом интервалов.

 

Интервалы(−∞; −1)(−1; 1)(1; 1,5)(1,5; +∞)
Знак выражения++

 

Решения второго неравенства системы:  левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1,5; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Решения исходной системы:  левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1,5;2 правая фигурная скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1,5;2 правая фигурная скобка

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы.

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 114.