В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Вы­со­та тра­пе­ции равна 12. Най­ди­те ее сред­нюю линию.

Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат век­то­ра  +

В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли воду. Уро­вень воды до­сти­га­ет 80 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень воды, если ее пе­ре­лить в дру­гой такой же сосуд, у ко­то­ро­го сто­ро­на ос­но­ва­ния в 4 раза боль­ше, чем у пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в см.

Вася, Петя, Коля и Лёша бро­си­ли жре­бий  — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру дол­жен будет Петя.

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,3. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,12. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y  =  f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y  =  6 или сов­па­да­ет с ней.

Урав­не­ние про­цес­са, в ко­то­ром участ­во­вал газ, за­пи­сы­ва­ет­ся в виде где p (Па)  — дав­ле­ние газа, V  — объeм газа в ку­би­че­ских мет­рах, a  — по­ло­жи­тель­ная кон­стан­та. При каком наи­мень­шем зна­че­нии кон­стан­ты a умень­ше­ние в два раза объeма газа, участ­ву­ю­ще­го в этом про­цес­се, при­во­дит к уве­ли­че­нию дав­ле­ния не менее, чем в 4 раза?

Из го­ро­дов A и B нав­стре­чу друг другу вы­еха­ли мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист. Мо­то­цик­лист при­е­хал в B на 3 часа рань­ше, чем ве­ло­си­пе­дист при­е­хал в A, а встре­ти­лись они через 48 минут после вы­ез­да. Сколь­ко часов за­тра­тил на путь из B в A ве­ло­си­пе­дист?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те зна­че­ние x, при ко­то­ром

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме АВСА′B′C′ сто­ро­на ос­но­ва­ния АВ равна 6, а бо­ко­вое ребро АА′ равно 3. На ребре АВ от­ме­че­на точка К так, что АК  =  1. Точки М и L  — се­ре­ди­ны рёбер А′С′ и В′С′ со­от­вет­ствен­но. Плос­кость γ па­рал­лель­на пря­мой АС и со­дер­жит точки К и L.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая ВМ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до плос­ко­сти γ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Пен­си­он­ный фонд вла­де­ет цен­ны­ми бу­ма­га­ми, ко­то­рые стоят тыс. руб­лей в конце года В конце лю­бо­го года пен­си­он­ный фонд может про­дать цен­ные бу­ма­ги и по­ло­жить день­ги на счёт в банке, при этом в конце каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года сумма на счёте будет уве­ли­чи­вать­ся в раз. Пен­си­он­ный фонд хочет про­дать цен­ные бу­ма­ги в конце та­ко­го года, чтобы в конце два­дцать пя­то­го года сумма на его счёте была наи­боль­шей. Расчёты по­ка­за­ли, что для этого цен­ные бу­ма­ги нужно про­да­вать стро­го в конце два­дцать пер­во­го года. При каких по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях r это воз­мож­но?

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AP и CQ.

а)  До­ка­жи­те, что угол PAC равен углу PQC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что PQ  =  8 и ∠ABC  =  60°.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства

со­дер­жит от­ре­зок

Каж­дый из груп­пы уча­щих­ся схо­дил в кино или в театр, при этом воз­мож­но, что кто-⁠то из них мог схо­дить и в кино, и в театр. Из­вест­но, что в те­ат­ре маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших театр, а в кино маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших кино.

а)  Могло ли быть в груп­пе 10 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков могло быть в груп­пе, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

в)  Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа уча­щих­ся в груп­пе без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а) и б)?