Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 660765
i

Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 24. Точки E и F  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и BC со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок EF ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

а)  До­ка­жи­те, что AC = 6.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если \angle A C B = 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Так как че­ты­рех­уголь­ник AEFC опи­сан­ный (см. рис. 1), то AE плюс FC=AC плюс EF. По­сколь­ку E и F  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и BC, от­ре­зок EF  — сред­няя линия, а зна­чит, AC = 2EF. Най­дем пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC:

P_ABC = AC плюс AB плюс BC = AC плюс 2 левая круг­лая скоб­ка AE плюс FC пра­вая круг­лая скоб­ка = AC плюс 2 AC плюс 2 EF = 4 AC,

от­ку­да сле­ду­ет, что AC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби P_ABC, то есть AC=6.

Рис. 1

Рис. 2

б)  Так как AC=6, то AB плюс BC=18. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра (см. рис. 2) имеем: AB в квад­ра­те =BC в квад­ра­те плюс AC в квад­ра­те . По­лу­ча­ем:

си­сте­ма вы­ра­же­ний AB плюс BC=18, BC в квад­ра­те плюс 36=AB в квад­ра­те конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний BC=18 минус AB, BC в квад­ра­те плюс 36=324 минус 36BC плюс BC в квад­ра­те , конец си­сте­мы . \Rightarrow 36BC = 288 рав­но­силь­но BC=8.

Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BC умно­жить на AC=24.

 

Ответ: б)  24.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 660765: 660915 674439 674808 Все

Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025