ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 660675 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $2 синус в квадрате x плюс 3 корень из 3 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс 4 = 0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Применим формулу приведения и выполним преобразования:

$2 синус в квадрате x плюс 3 корень из 3 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс 4 = 0 равносильно 2 минус 2 косинус в квадрате x плюс 3 корень из 3 косинус x плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус 3 корень из 3 косинус x минус 6 = 0 равносильно левая круглая скобка 2 косинус x плюс корень из 3 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус 2 корень из 3 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби , косинус x = 2 корень из 3 конец совокупности . равносильно косинус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x = \pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $2 синус в квадрате x плюс 3 корень из 3 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно 2 минус 2 косинус в квадрате x плюс 3 корень из 3 косинус x плюс 4 = 0 равносильно 2 косинус в квадрате x минус 3 корень из 3 косинус x минус 6 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус x плюс корень из 3 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус 2 корень из 3 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби , косинус x = 2 корень из 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно косинус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x = \pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $2 синус в квадрате x плюс 3 корень из 3 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно 2 минус 2 косинус в квадрате x плюс 3 корень из 3 косинус x плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус 3 корень из 3 косинус x минус 6 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус x плюс корень из 3 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус 2 корень из 3 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби , косинус x = 2 корень из 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно косинус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x = \pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $2 синус в квадрате x плюс 3 корень из 3 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно 2 минус 2 косинус в квадрате x плюс 3 корень из 3 косинус x плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус 3 корень из 3 косинус x минус 6 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус x плюс корень из 3 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус 2 корень из 3 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби , косинус x = 2 корень из 3 конец совокупности . равносильно косинус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно x = \pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Найдем: $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а)   $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 529578: 658798 658884 660675 ... Все

Источники:

Задания 13 ЕГЭ–2024;

ЕГЭ по математике 31.05.2024. Основная волна. Разные города.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь