PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, CD = 16. Найдите периметр четырехугольника ABCD.
Даны векторы 
и 
Найдите скалярное произведение 
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда 
у которого 
В группе туристов 20 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Ф. полетит вторым рейсом вертолёта.
Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен график производной функции 
определенной на интервале 
Найдите количество точек максимума функции 
на отрезке 
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому 
где P — мощность излучения звезды (в ваттах), 
— постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна 
а мощность её излучения равна
Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
На рисунке изображён график функции
Найдите f(10).
Найдите точку минимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении BK : KC = 2 : 1, AB = 6 и 
а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD.
Решите неравенство 
В июле 2026 года планируется взять кредит на 3 года в размере 800 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
— в январе 2027 и 2028 годов долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2029 года долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
Платежи в 2027, 2028 и 2029 годах должны быть равными; к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
Периметр треугольника ABC равен 24. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABC, если 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно 4 различных решения.
Есть 16 монеток по 2 рубля и 29 монеток по 5 рублей.
а) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 175?
б) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 176?
в) Какое наименьшее количество монеток по 1 рублю нужно добавить в набор, чтобы можно было получить любую целую сумму от 1 до 180 включительно.
где 
так как треугольник ABC прямоугольный. Учитывая, что BC = AD, получаем
Если площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания параллелепипеда, а высота у них общая, то, независимо от вида параллелепипеда, объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда. Заданный параллелепипед прямоугольный, его объем равен произведению измерений этого параллелепипеда. Тогда
:
минут.
откуда k = 1. Таким образом,
б) 
также известно, что 
Отсюда следует, что 
и 
Пусть плоскости 
Прямая AS параллельна плоскости OMK, значит, прямая AS не имеет общих точек с прямой EF, при этом прямые 
Найдем боковое ребро:
и 
тогда 
Подставляем:
имеем:
и 
Тогда схема выплаты кредита выглядит так:
Поскольку E и F — середины сторон AB и BC, отрезок EF — средняя линия, а значит, 
Найдем периметр треугольника ABC:
то есть 
то 
По теореме Пифагора (см. рис. 2) имеем: 
Получаем:
получают сдвигом графика функции 
на 4 единицы вниз вдоль 
построенных на отрезке [−8; 0].
и 
парабола 
касается левой и правой ветвей графика функции 
то есть прямых 
соответственно. Найдем 
касательная имеет с параболой единственную общую точку, а потому при 
должен быть равен нулю дискриминант уравнения 
Дискриминант обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию 
Следовательно, 
Аналогично найдем 
дискриминант уравнения 
он обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию 
Следовательно, 
и 
лежат на отрезке [−8; 0]. Таким образом, графики уравнений системы расположены так, как показано на рисунке (песочным цветом изображен график первого уравнения, зеленым и красным изображены графики второго уравнения для случаев 
графики пересекаются ровно в трех точках. При 
и 
графики пересекаются в ровно в четырех точках. При 
и при 
одна из ветвей графика модуля не пересекается с графиком второго уравнения, а другая ветвь имеет с ним не больше двух точек пересечения, поэтому прочие значения параметра не удовлетворяют условию.
штуки.