РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 40330674

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Сибирь

В сентябре 1 кг винограда стоил 90 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 6. Боковые ребра равны $дробь: числитель: 9, знаменатель: Пи конец дроби .$ Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Фабрика выпускает сумки. В среднем 4 сумки из 200 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Найдите корень уравнения $2 в степени левая круглая скобка 4 минус 2x правая круглая скобка = 64.$

Один из углов прямоугольного треугольника равен $86$ °. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 6;6 правая круглая скобка .$ Найдите точку экстремума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на интервале $левая круглая скобка минус 4;5 правая круглая скобка .$

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

Найдите значение выражения $дробь: числитель: 22 левая круглая скобка синус в квадрате , знаменатель: 72 конец дроби градусов минус косинус в квадрате 72 градусов правая круглая скобка косинус 144 градусов .$

10.  

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 130$  Гц и определяется следующим выражением: $f =f_0 дробь: числитель: c плюс u, знаменатель: c минус v конец дроби$ (Гц), где c  — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=16$  м/с и $v =15$  м/с  — скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 135 Гц?

11.  

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

12.  

Найдите точку минимума функции $y=3x минус натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в кубе .$

13.  

а)  Решите уравнение $2 синус в кубе x минус корень из 2 косинус 2 x плюс синус x= минус корень из 2 .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

14.  

Дана правильная треугольная пирамида SABC, AB  =  24, высота SH, проведённая к основанию, равна 14, точка K  — середина AS, точка N  — середина BC. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.

а)  Докажите, что PQ проходит через середину отрезка SN.

б)  Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью APQ.

Решение. а)  Плоскость ASB пересекает параллельные плоскости KQP и ABC по параллельным прямым, поэтому прямые KQ и AB параллельны. Аналогично параллельны прямые KP и AC. Значит, точка Q  — середина ребра BS, точка P  — середина ребра CS. Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на основании, параллельном этой средней линии, а потому делит пополам и отрезок SN.

б)  Пусть прямые SN и PQ пересекаются в точке R. Тогда прямая AR перпендикулярна прямой PQ, прямая AN перпендикулярна прямой BC, а прямая пересечения плоскостей ABC и APQ параллельна прямым BC и PQ. Значит, угол RAN равен искомому углу между плоскостями. Из равностороннего треугольника ABC получаем:

$AN = AB умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = 12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$

$HN = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на AN = 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$

а из треугольника SHN по теореме Пифагора:

$SN = корень из: начало аргумента: 14 в квадрате плюс левая круглая скобка 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 244 конец аргумента = 2 корень из: начало аргумента: 61 конец аргумента ,$

поэтому $RN = корень из: начало аргумента: 61 конец аргумента .$ Следовательно, $косинус \angle HNS = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 61 конец аргумента конец дроби .$ По теореме косинусов для треугольника ANR:

$AR в квадрате = левая круглая скобка 12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс 61 минус 2 умножить на 12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 61 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 61 конец аргумента конец дроби = 432 плюс 61 минус 144 = 349.$

Аналогично находим:

$косинус \angle RAN = дробь: числитель: 349 плюс 432 минус 61, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 349 конец аргумента умножить на 12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 720, знаменатель: 24 корень из: начало аргумента: 1047 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 30, знаменатель: корень из: начало аргумента: 1047 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 10 корень из: начало аргумента: 1047 конец аргумента , знаменатель: 349 конец дроби ,$

откуда $\angle RAN = арккосинус дробь: числитель: 10 корень из: начало аргумента: 1047 конец аргумента , знаменатель: 349 конец дроби .$

Ответ: б)  $арккосинус дробь: числитель: 10 корень из: начало аргумента: 1047 конец аргумента , знаменатель: 349 конец дроби .$

Приведем решение Ольги Романко.

Пусть прямые SN и PQ пересекаются в точке R. Тогда прямая AR перпендикулярна прямой PQ, прямая AN перпендикулярна прямой BC, а прямая пересечения плоскостей ABC и APQ параллельна прямым BC и PQ. Значит, угол RAN равен искомому углу между плоскостями. Проведем через точку R прямую параллельно прямой SH. Пусть точка T  — точка пересечения этой прямой с отрезком AN. В треугольнике SHN отрезок RT  — средняя линия, тогда

$RT = дробь: числитель: SH, знаменатель: 2 конец дроби = 7,$

$AT = AH плюс дробь: числитель: HN, знаменатель: 2 конец дроби = 10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$

$тангенс \angle RAN = дробь: числитель: RT, знаменатель: AT конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 7 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 30 конец дроби ,$

$\angle RAN = арктангенс дробь: числитель: 7 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 30 конец дроби .$

Предоставляем читателю возможность самостоятельно убедиться, что ответы, полученные разными способами, соответствуют одному и тому же углу.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Решите неравенство: $левая круглая скобка 25 в степени x минус 4 умножить на 5 в степени x правая круглая скобка в квадрате плюс 8 умножить на 5 в степени x меньше 2 умножить на 25 в степени x плюс 15.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN  =  CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD  =  AM.

а)  Докажите, что BM  =  BN.

б)  Найдите MN, если AC  =  7, $синус \angle BAD= дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

17.  

15 августа 2026 года планируется взять кредит в банке на 1200 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия возврата таковы:

—  1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—  15-⁠го числа каждого месяца с 1-⁠го по 10-⁠й (с сентября 2026 года по июнь 2027 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

—  15 июня 2027 года долг составит 400 тысяч рублей;

—  15 июля 2027 года долг должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Решение. Через 10 месяцев долг будет составлять 400 тыс. руб., поэтому за десять месяцев он уменьшится на 800 тыс. руб., при этом будет уменьшаться на одну и ту же сумму каждый месяц. Это означает, что каждый месяц долг будет уменьшаться на 80 тыс. руб., и на 15 число каждого месяца, начиная с августа, составит (в тыс. руб.):

1200, 1120, 1040, 960, 880, 800, 720, 640, 560, 480, 400, 0.

На первое число каждого месяца начиная с сентября долг (в тыс. руб.) будет составлять:

$1200 умножить на 1,01,1120 умножить на 1,01,1040 умножить на 1,01,\ldots, 560 умножить на 1,01,480 умножить на 1,01,400 умножить на 1,01,0.$

Выплаты (в тыс. руб.) составят:

$1200 умножить на 1,01 минус 1120,1120 умножить на 1,01 минус 1040,1040 умножить на 1,01 минус$
$минус 960,\ldots, 560 умножить на 1,01 минус 480,480 умножить на 1,01 минус 400,400 умножить на 1,01.$ $1200 умножить на 1,01 минус 1120,1120 умножить на 1,01 минус$
$минус 1040,1040 умножить на 1,01 минус 960,\ldots, 560 умножить на 1,01 минус$
$минус 480,480 умножить на 1,01 минус 400,400 умножить на 1,01.$

Найдем их сумму:

$1200 умножить на 1,01 минус 1120 плюс 1120 умножить на 1,01 минус 1040 плюс 1040 умножить на 1,01 минус 960 плюс$
$плюс \ldots плюс 560 умножить на 1,01 минус 480 плюс 480 умножить на 1,01 минус 400 плюс 400 умножить на 1,01=$ $1200 умножить на 1,01 минус 1120 плюс 1120 умножить на 1,01 минус 1040 плюс$
$плюс 1040 умножить на 1,01 минус 960 плюс \ldots плюс 560 умножить на 1,01 минус$
$минус 480 плюс 480 умножить на 1,01 минус 400 плюс 400 умножить на 1,01=$

$=1,01 умножить на дробь: числитель: 1200 плюс 400, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 11 минус дробь: числитель: 1120 плюс 400, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 10=101 умножить на 88 минус 7600=1288$ тыс. руб.

Ответ: 1 млн 288 тыс. руб.

Приведем другое решение.

Общая сумма выплат состоит из основного долга 1200 тыс. руб. и начисленных процентов.

Через 10 месяцев долг будет составлять 400 тыс. руб., поэтому за десять месяцев он уменьшится на 800 тыс. руб., при этом будет уменьшаться на одну и ту же сумму каждый месяц. Это означает, что каждый месяц долг будет уменьшаться на 80 тыс. руб., и на 15 число каждого месяца, начиная с августа, составит (в тыс. руб.):

1200, 1120, 1040, 960, 880, 800, 720, 640, 560, 480, 400, 0.

Сумма начисленных за 11 месяцев процентов составит

$0,01 левая круглая скобка 1200 плюс 1120 плюс ... плюс 400 правая круглая скобка =0,01 умножить на дробь: числитель: 1200 плюс 400, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 11=88$ тыс. руб.

Следовательно, общая сумма выплат составит 1200 + 88  =  1288 тыс. руб.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

18.  

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет.	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения. ИЛИ В решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений.	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений. ИЛИ В случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

19.  

Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.

а)  Может ли выполняться равенство A · S  =  1105?

б)  Может ли выполняться равенство A · S  =  1106?

в)  Какое наименьшее значение может принимать выражение A · S, если оно больше 1503?

№ п/п	№ задания	Ответ
1	82081	135
2	72259	162
3	27560	10
4	283627	0,98
5	26650	-1
6	47625	41
7	6417	2
8	4989	75
9	63053	-22
10	42377	821
11	26598	11
12	77486	-2
13	563632	а) $левая фигурная скобка Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $2 Пи ,$ $3 Пи ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$
14	563633	б)  $арккосинус дробь: числитель: 10 корень из: начало аргумента: 1047 конец аргумента , знаменатель: 349 конец дроби .$
15	563635	б) $дробь: числитель: 336, знаменатель: 25 конец дроби .$
16	563636	1 млн 288 тыс. руб.
17	563637	$a = \pm 3,5$ или $a = \pm 4,5.$
18	563638	а)  да; б)  нет; в)  1507.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Сибирь

Ключ