Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 563633

Дана правильная треугольная пирамида SABC, AB = 24, высота SH, проведённая к основанию, равна 14, точка K — середина AS, точка N — середина BC. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.

а) Докажите, что PQ проходит через середину отрезка SN.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью APQ.

Спрятать решение

Решение.

а) Плоскость ASB пересекает параллельные плоскости KQP и ABC по параллельным прямым, поэтому KQ и AB параллельны. Аналогично KP||AC. Значит, точка Q — середина BS, P  — середина CS. Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на основании, параллельном этой средней линии. А значит, она делит пополам и отрезок SN. Что и требовалось доказать.

б) Пусть точка пересечения SN и PQ это R. Тогда AR\perp PQ, AN\perp BC, а прямая пересечения плоскостей ABC и APQ параллельна BC и PQ. Значит, угол RAN равен искомому углу между плоскостями. Из равностороннего треугольника ABC получаем:

AN=AB умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби =12 корень из 3,

HN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на AN=4 корень из 3,

далее,

SN= корень из 14 в квадрате плюс левая круглая скобка 4 корень из 3 правая круглая скобка в квадрате = корень из 244=2 корень из 61.

RN= корень из 61. Значит,  косинус \angle HNS= дробь: числитель: 2 корень из 3, знаменатель: корень из 61 конец дроби . По теореме косинусов:

AR в квадрате = левая круглая скобка 12 корень из 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 61 минус 2 умножить на 12 корень из 3 умножить на корень из 61 умножить на дробь: числитель: 2 корень из 3, знаменатель: корень из 61 конец дроби =432 плюс 61 минус 144=349.

Тогда, еще раз применив теорему косинусов, получаем:

 косинус RAN= дробь: числитель: 349 плюс 432 минус 61, знаменатель: 2 корень из 34912 корень из 3 конец дроби = дробь: числитель: 720, знаменатель: 24 корень из 1047 конец дроби = дробь: числитель: 30, знаменатель: корень из 1047 конец дроби .

Ответ:  арккосинус дробь: числитель: 30, знаменатель: корень из 1047 конец дроби .

 

Приведем решение Ольги Романко.

Пусть точка пересечения SN и PQ это R. Тогда AR\perp PQ, AN\perp BC, а прямая пересечения плоскостей ABC и APQ параллельна BC и PQ. Значит, угол RAN равен искомому углу между плоскостями. Проведем через точку R прямую параллельно прямой SH. Пусть T — точка пересечения этой прямой с отрезком AN. В треугольнике SHN отрезок RT — средняя линия, тогда

RT= дробь: числитель: SH, знаменатель: 2 конец дроби =7,

AT=AH плюс дробь: числитель: HN, знаменатель: 2 конец дроби =10 корень из 3,

 тангенс RAN= дробь: числитель: RT, знаменатель: AT конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 10 корень из 3 конец дроби = дробь: числитель: 7 корень из 3, знаменатель: 30 конец дроби .

Получим ответ  арктангенс дробь: числитель: 7 корень из 3, знаменатель: 30 конец дроби .

Предоставляем читателю возможность самостоятельно убедиться, что ответы, полученные разными способами, соответствуют одному и тому же углу.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Сибирь, Задания 14 ЕГЭ–2021
Методы геометрии: Теорема косинусов