Дана правильная треугольная пирамида SABC, AB = 24, высота SH, проведённая к основанию, равна 14, точка K — середина AS, точка N — середина BC. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что PQ проходит через середину отрезка SN.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью APQ.
а) Плоскость ASB пересекает параллельные плоскости KQP и ABC по параллельным прямым, поэтому KQ и AB параллельны. Аналогично KP||AC. Значит, точка Q — середина BS, P — середина CS. Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на основании, параллельном этой средней линии. А значит, она делит пополам и отрезок SN. Что и требовалось доказать.
б) Пусть точка пересечения SN и PQ это R. Тогда 
а прямая пересечения плоскостей ABC и APQ параллельна BC и PQ. Значит, угол RAN равен искомому углу между плоскостями. Из равностороннего треугольника ABC получаем:
далее,
Значит, 
По теореме косинусов:
Тогда, еще раз применив теорему косинусов, получаем:
Ответ: 
Приведем решение Ольги Романко.
Пусть точка пересечения SN и PQ это R. Тогда а прямая пересечения плоскостей ABC и APQ параллельна BC и PQ. Значит, угол RAN равен искомому углу между плоскостями. Проведем через точку R прямую параллельно прямой SH. Пусть T — точка пересечения этой прямой с отрезком AN. В треугольнике SHN отрезок RT — средняя линия, тогда
Получим ответ 
Предоставляем читателю возможность самостоятельно убедиться, что ответы, полученные разными способами, соответствуют одному и тому же углу.