Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 563637

При каких значениях параметра а уравнение |x в квадрате минус a в квадрате | плюс 8 = |x плюс a| плюс 8 |x минус a| имеет ровно три различных решения?

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение:

|x в квадрате минус a в квадрате | плюс 8 = |x плюс a| плюс 8 |x минус a| равносильно

 равносильно |x минус a||x плюс a| плюс 8 минус левая круглая скобка |x плюс a| плюс 8 |x минус a| правая круглая скобка = 0 равносильно |x минус a| левая круглая скобка |x плюс a| минус 8 правая круглая скобка минус левая круглая скобка |x плюс a| минус 8 правая круглая скобка = 0 равносильно

 равносильно левая круглая скобка |x плюс a| минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка |x минус a| минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений |x плюс a| = 8,|x минус a| = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x плюс a = минус 8,x плюс a = 8, x минус a = минус 1, x минус a = 1, конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус a минус 8,x = 8 минус a, x = a минус 1, x = a плюс 1. конец совокупности .

Решения  минус a минус 8 и  минус a плюс 8 совпасть не могут, как и решения a минус 1 и a плюс 1. Рассмотрим случаи 8 минус a = a плюс 1, или 8 минус a = a минус 1, или  минус 8 минус a = a плюс 1, или  минус 8 минус a = a минус 1, найдем a = \pm 3,5 или a = \pm 4,5. Ясно, что две пары решений не могут совпасть ни при каких значениях параметра.

 

Ответ: a = \pm 3,5 или a = \pm 4,5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
4
3
2
1
0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Сибирь, Задания 18 ЕГЭ–2021
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром
Методы алгебры: Перебор случаев