PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с положительной среднемесячной температурой.
Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки
1 см
Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Найдите корень уравнения 
Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 61°. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.
Найдите значение выражения 
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала 
Гц
(Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде 
м/с
м/с
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?
Найдите точку максимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K — середина AS. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что площадь PQBС относится к площади
как 3 : 4.
б) Найдите объем пирамиды KBQPC.
Решите неравенство: 
Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 4, 
В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен.
Чему равно r, если общая сумма выплат составит 930 тысяч рублей?
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 28 000?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 2971?
в) Найдите наибольшее произведение A · S < 5997.
см2.
Гц при известных значениях 
литров
Обозначим 
тогда 
поэтому из первой серии в него может попасть не более двух корней, а из второй и третьей — не более одного корня. Из первой серии решениями, лежащими в отрезке, являются числа 
и 
из второй — 
Ни один из членов третьей серии не попадает в заданный отрезок, поскольку число 
соответствующее 
лежит левее отрезка, а число 
соответствующее 
уже правее отрезка.
б) 
и 
Это и требовалось доказать.
Поэтому объем пирамиды KBQPC относится к объему пирамиды ABCS как 
Отсюда получаем, что искомый объем равен 
тогда 
Пусть 
тогда 
откуда 
или 
Далее находим:
Пусть 
тогда 
откуда 
Далее получаем: 
тогда 
Углы 
и
вертикальные и равны, тогда 
и 
Тогда 
Таким образом, треугольники ABM и BCN равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, BM = BN.
Пусть 
тогда 
Пусть 
тогда 
так как треугольники MAB и NBC равны. Таким образом, 
и 
Так как 
то 
следовательно, 
и 
тыс. руб., вторая выплата равна 
тыс. руб., третья выплата равна 
тыс. руб. В следующие три года выплаты равны соответственно: 
тыс. руб., 
тыс. руб. и 
тыс. руб. Общая сумма выплат составляет: 
откуда 
и построим графики левой и правой частей. Из графиков, учитывая, что несовпадающие прямые имеют не более одной общей точки, получим следующее.
два решения есть тогда и только тогда, когда точка A лежит ниже точки B:
то есть при 
два решения есть тогда и только тогда, когда точка C лежит ниже точки D: 
то есть при 
получим
то есть 
имеем:
при 
имеет единственное решение 
Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке:
имеем:
то есть 
или 
пересекает график в двух точках, то есть лежит выше точки пересечения гиперболы с первой прямой либо ниже точки пересечения гиперболы со второй прямой. Таким образом, 
поэтому 
что тоже невозможно.
даст остаток 0 и даже будет кратно 9. А если остаток 1 или 2, то 
имеет только два трехзначных делителя — 109 и 545, они не подходят. Наконец, число 
Значит, A кратно 37, потому что 
Кроме того, 
Число 5994 имеет четыре делителя, подходящие под эти