Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K — середина AS. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что площадь PQBС относится к площади
как 3 : 4.
б) Найдите объем пирамиды KBQPC.
а) Плоскость ASB пересекает параллельные плоскости KQP и ABC по параллельным прямым, поэтому прямые KQ и AB параллельны. Аналогично доказывается параллельность прямых KP и AC. Значит, точка Q — середина отрезка BS, а точка P — середина отрезка CS. Тогда площадь треугольника SQP в четыре раза меньше площади треугольника BCS. Значит, 
Это и требовалось доказать.
б) Найдем сначала объем пирамиды SABC:
Заметим, что высота пирамиды KBQPC, проведенная из вершины K, вдвое меньше высоты пирамиды ABCS, проведенной из вершины A, а площади оснований этих пирамид, согласно пункту а), относятся как 
Поэтому объем пирамиды KBQPC относится к объему пирамиды ABCS как 
Отсюда получаем, что искомый объем равен 
Ответ: