PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Для приготовления вишневого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 27 кг вишни?
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 24 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Найдите площадь прямоугольника, вершины которого имеют координаты (8; 0), (9; 2), (1; 6), (0; 4).
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
Найдите корень уравнения: 
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр
На рисунке изображены график функции
и касательная к нему в точке с абсциссой 
Найдите значение производной функции 
в точке
Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Найдите значение выражения 
Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону 
где t — время в минутах, 
мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а 
мин2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки 
достигнет 
Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.
На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.
а) Докажите, что высота пирамиды, проведённая из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC и SA, пополам.
б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если 
AB = AC = 5, 
Решите неравенство 
На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. руб. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. руб.;
— выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. руб.;
— к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 
б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?
как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей. Значит, треугольник ADL равнобедренный. Пусть 
тогда 
Противоположные стороны параллелограмма ABCD попарно равны, тогда
Находим 
при заданных значениях параметров 
и 
:
Угол намотки достигнет значения 1200° при t = 20 мин.
деталей, 
На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей, отсюда имеем:
и решим полученное уравнение:
функция достигает наибольшего значения в точке −2. Найдем его:
Получим точку 
б) 
AK — биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC. По теореме Пифагора AK = 
то есть SH = 1, следовательно, из треугольника SAH по теореме Пифагора AH = 2. Тогда искомое расстояние равно 1.
и 
Приравнивая объемы, получаем 
Осталось найти площади треугольников ABC и SCB.
Таким образом, по доказанному в п. а), искомое расстояние равно 1.
Тогда 
или 
Перейдем к переменной х.
хотя бы одно решение, не равное 
Таким образом, уравнение на отрезке 
и 
то есть при 
При 
функция в левой части уравнения отрицательна, и уравнение корней не имеет.
В этом случае получим:
кроме точки, в которой 
то есть кроме точки 
тогда 
кроме значения 
Таким образом, 
кроме 
тогда последнее уравнение примет вид 
В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку 
угловой коэффициент 
получаем:
или 
Далее заметим, что при условии 
можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде 
Отметим далее, что в силу введённых обозначений 
Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти (
) и отличные от точек прямой 
и 
и нужно минимизировать 
Рассмотрим любую подходящую пару чисел 
и увеличим оба числа на единицу. Тогда по-прежнему 
(к правой части прибавили 
а к левой — 
), 
(к обеим частям прибавили поровну), а отношение уменьшилось (было 
стало 
). Поэтому можно увеличивать a, пока оно не станет равно 24.
Наименьшее такое c — это 35. Поэтому ответ 
Из полученного соотношения видно, что для любого угла C (при фиксированной величине c) отношение c/a минимально при максимальном возможном a, то есть при a = 24. Далее, так же как в приведенном выше решении, получаем, что при любом фиксированном значении