а)  Пусть AH  — ис­ко­мая вы­со­та. Про­ве­дем пря­мую SH, обо­зна­чим K точку пе­ре­се­че­ния пря­мой SH со сто­ро­ной ос­но­ва­ния BC. Про­ве­дем пря­мую AK. Точки T и N  — се­ре­ди­ны сто­рон AC и AB, по­это­му от­ре­зок TN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC. Сле­до­ва­тель­но, TN делит от­ре­зок AK на две рав­ные части. По­это­му MF  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SKA, она делит AH на две рав­ные части.

б)  По усло­вию AB  =  AC, по­это­му тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный. По­сколь­ку SC  =  SB, тре­уголь­ник SCB тоже рав­но­бед­рен­ный. Ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, по­это­му оно пер­пен­ди­ку­ляр­но и сто­ро­не ос­но­ва­ния AB. Тогда пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SAC и SAB равны по двум ка­те­там.

Так как AC  =  AB, AH ⊥ (CBS), сле­до­ва­тель­но, HC ⊥ AH, AH ⊥ HB, тогда HC  =  HB. Зна­чит, точка H при­над­ле­жит се­ре­дин­но­му пер­пен­ди­ку­ля­ру к CB, то есть SK, так как SK  — ме­ди­а­на, вы­со­та и бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка. Тогда AK  — бис­сек­три­са, ме­ди­а­на и вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AK  =  

По­сколь­ку SA ⊥ (ABC), SA ⊥ AK. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра SK  =  5. Далее, то есть SH  =  1, сле­до­ва­тель­но, из тре­уголь­ни­ка SAH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AH  =  2. Тогда ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно 1.

Ответ: б) 1.

Решим пункт б) ме­то­дом объёмов (Денис Чер­нышёв, Тю­мень).

Объем пи­ра­ми­ды можно вы­ра­зить двумя спо­со­ба­ми: и При­рав­ни­вая объ­е­мы, по­лу­ча­ем

а зна­чит, Оста­лось найти пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ABC и SCB.

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим вы­со­ту

от­ку­да по­лу­ча­ем пло­щадь:

Вы­со­ту тре­уголь­ни­ка SCB най­дем из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

тогда

Сле­до­ва­тель­но, Таким об­ра­зом, по до­ка­зан­но­му в п. а), ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно 1.