PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Система навигации самолёта информирует пассажира о том, что полёт проходит на высоте 35 000 футов. Выразите высоту полёта в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.
При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На графике показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечено время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по рисунку, за сколько часов напряжение упадёт с 1,4 вольта до 1 вольта.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB.
Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Найдите корень уравнения 
Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
На рисунке изображён график 
— производной функции 
На оси абсцисс отмечено девять точек: 
Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции 
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 47. Найдите объём шара.
Найдите значение выражения 
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением 
Скорость 
(в км/ч)
где l — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 90 км/ч.
Первая труба наполняет резервуар на 48 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая одновременно, наполняют этот же резервуар за 45 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
Найдите точку минимума функции 
принадлежащую промежутку 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 6. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
Решите неравенство 
Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN.
а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
б) Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN = 6, а ∠LMN = 120°.
По бизнес-плану предполагается изначально вложить в четырёхлетний проект 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 13% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по целому числу n млн рублей в первый и второй годы, а также по целому числу m млн рублей в третий и четвёртый годы.
Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.
Найдите все значения параметра b, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке [−2; 2].
Бесконечная арифметическая прогрессия a1, a2, ..., an, ... состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, ..., a7 ровно три числа делятся на 36?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, ..., a30 ровно 9 чисел делятся на 36?
в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел a1, a2, ..., a2n больше кратных 36, чем среди чисел a2n + 1, a2n + 2, ..., a5n?
соответствуют неположительные значения её производной. Производная неположительна в точках 
: точки лежат ниже оси абсцисс, их ординаты отрицательны. Таких точек 3.
и 
часть резервуара. Поскольку за 45 минут обе трубы заполняют весь резервуар, получаем:
Поскольку вторая труба заполняет 
резервуара в минуту, она заполнит весь резервуар за 72 минуты. 
или 
отберём с помощью единичной окружности. Получаем 
б) 
поскольку равносильны следующие неравенства
то есть 
Следовательно,
млн вложений, а к началу 3-го года — 
Наименьшее целое решение n = 7 так как при n = 6 неравенство уже не выполняется.
млн, а в конце проекта
Наименьшее целое решение m = 4.
Рассмотрим уравнение 
Число x = 0 не является корнем этого уравнения ни при каком значении параметра а. Поэтому это уравнение равносильно уравнению
и их расположение для каждого значения параметра а.
функция убывает, а на промежутке 
— возрастает. Следовательно, точка x = 1 — точка минимума, а минимум равен 11. Из полученных свойств функции 
то при 
уравнение имеет ровно один корень на отрезке 
при 
уравнение не имеет корней на 
При a = 11 уравнение имеет единственный корень x = 1 на отрезке 
то при 
на отрезке 
уравнение имеет ровно два корня. При a > 15 уравнение также имеет единственный корень на отрезке 
Значит, если среди членов арифметической прогрессии a1, a2, ..., an, ... есть кратные 36, то это члены с номерами вида 
где q — номер первого члена, кратного 
а p пробегает все неотрицательные целые числа. Поэтому среди любых k последовательных членов прогрессии a1, a2, ..., an, ... ровно один будет делиться на 36. Если 
то 
и среди чисел a1, a2, ..., a30 будет по крайней мере 10 чисел, кратных 36. Если же 
то 
и среди чисел a1, a2, ..., a30 будет не более 8 чисел, кратных 36. Значит, не существует такой прогрессии, в которой среди чисел a1, a2, ..., a30 ровно 9 чисел делятся на 36.
d — разность арифметической прогрессии.
чисел. Аналогично, среди чисел a2n + 1, a2n + 2, ..., a5n кратными 36 будут не менее 
чисел. Неравенство 
выполнено тогда и только тогда, когда 
Пусть это равенство выполнено. Тогда разность между числами 
и 
меньше 1. Получаем, что 
и 
Значит, 
и 
Поскольку число k не превосходит 36, отсюда следует, что 
Рассмотрим прогрессию с первым членом 27 и разностью 1. Тогда среди чисел a1, a2, ..., a46 ровно два делятся на 36 (a10 = 36 и a46 = 72). Среди чисел a47, a48, ..., a115 ровно одно делится на 36 (a82 = 108). Этот пример показывает, что n может равняться 23.