а)  Под­хо­дя­щим при­ме­ром яв­ля­ет­ся про­грес­сия с пер­вым чле­ном 18 и раз­но­стью 18. Среди пер­вых семи её чле­нов (18, 36, 54, 72, 90, 108, 126) ровно три де­лят­ся на 36.

б)  Обо­зна­чим через d раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии a₁, a₂, ..., a_n, .... Из усло­вия сле­ду­ет, что d  — на­ту­раль­ное число. Пусть m и n  — на­ту­раль­ные числа, m > n, НОД(d, 36) обо­зна­ча­ет наи­боль­ший общий де­ли­тель чисел d и 36. Имеем

Сле­до­ва­тель­но, раз­ность a_m − a_n де­лит­ся на 36 тогда и толь­ко тогда, когда раз­ность m − n де­лит­ся на Зна­чит, если среди чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии a₁, a₂, ..., a_n, ... есть крат­ные 36, то это члены с но­ме­ра­ми вида где q  — номер пер­во­го члена, крат­но­го а p про­бе­га­ет все не­от­ри­ца­тель­ные целые числа. По­это­му среди любых k по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов про­грес­сии a₁, a₂, ..., a_n, ... ровно один будет де­лить­ся на 36. Если то и среди чисел a₁, a₂, ..., a₃₀ будет по край­ней мере 10 чисел, крат­ных 36. Если же то и среди чисел a₁, a₂, ..., a₃₀ будет не более 8 чисел, крат­ных 36. Зна­чит, не су­ще­ству­ет такой про­грес­сии, в ко­то­рой среди чисел a₁, a₂, ..., a₃₀ ровно 9 чисел де­лят­ся на 36.

в)  Обо­зна­чим через [x] целую часть числа x  — наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее x. По до­ка­зан­но­му в пунк­те б) среди любых k по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов про­грес­сии a₁, a₂, ..., a_n, ... ровно один будет де­лить­ся на 36, где d  — раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Зна­чит, среди чисел a₁, a₂, ..., a_2n крат­ны­ми 36 будут не более чисел. Ана­ло­гич­но, среди чисел a_2n + 1, a_2n + 2, ..., a_5n крат­ны­ми 36 будут не менее чисел. Не­ра­вен­ство вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда Пусть это ра­вен­ство вы­пол­не­но. Тогда раз­ность между чис­ла­ми и мень­ше 1. По­лу­ча­ем, что и Зна­чит, и По­сколь­ку число k не пре­вос­хо­дит 36, от­сю­да сле­ду­ет, что Рас­смот­рим про­грес­сию с пер­вым чле­ном 27 и раз­но­стью 1. Тогда среди чисел a₁, a₂, ..., a₄₆ ровно два де­лят­ся на 36 (a₁₀  =  36 и a₄₆  =  72). Среди чисел a₄₇, a₄₈, ..., a₁₁₅ ровно одно де­лит­ся на 36 (a₈₂  =  108). Этот при­мер по­ка­зы­ва­ет, что n может рав­нять­ся 23.

Ответ: а) Да, на­при­мер, про­грес­сия 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ...; б) нет; в) 23.