Груп­пу школь­ни­ков нужно пе­ре­ве­зи из лет­не­го ла­ге­ря одним из двух спо­со­бов: либо двумя ав­то­бу­са­ми типа А за не­сколь­ко рей­сов, либо тремя ав­то­бу­са­ми типа В за не­сколь­ко рей­сов, при­чем в этом слу­чае число рей­сов каж­до­го ав­то­бу­са типа В будет на один мень­ше, чем рей­сов каж­до­го ав­то­бу­са типа А. В каж­дом из слу­ча­ев ав­то­бу­сы за­пол­ня­ют­ся пол­но­стью.

Какое мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство школь­ни­ков можно пе­ре­вез­ти при ука­зан­ных усло­ви­ях, если в ав­то­бус типа В вхо­дит на 7 че­ло­век мень­ше, чем в ав­то­бус типа А?

Моток ве­рев­ки режут без остат­ка на куски дли­ной не мень­ше 99 см, но не боль­ше 102 см (на­зо­вем такие куски стан­дарт­ны­ми).

а)  Не­ко­то­рый моток ве­рев­ки раз­ре­за­ли на 33 стан­дарт­ных куска, среди ко­то­рых есть куски раз­ной длины. На какое наи­боль­шее число стан­дарт­ных оди­на­ко­вых кус­ков можно было бы раз­ре­зать тот же моток ве­рев­ки?

б)  Най­ди­те такое наи­мень­шее число l, что любой моток ве­рев­ки, длина ко­то­ро­го боль­ше l см, можно раз­ре­зать на стан­дарт­ные куски.

В стра­не Дель­фи­ния уста­нов­ле­на сле­ду­ю­щая си­сте­ма по­до­ход­но­го на­ло­га (де­неж­ная еди­ни­ца Дель­фи­нии ― зо­ло­тые):

а)  Два брата за­ра­бо­та­ли в сумме 1000 зо­ло­тых. Как им вы­год­нее всего рас­пре­де­лить эти день­ги между собой, чтобы в семье оста­лось как можно боль­ше денег после на­ло­го­об­ло­же­ния? При де­ле­же каж­дый по­лу­ча­ет целое число зо­ло­тых.

б)  Как вы­год­нее всего рас­пре­де­лить те же 1000 зо­ло­тых между тремя бра­тья­ми, при усло­вии, что каж­дый также по­лу­чит целое число зо­ло­тых?

Име­ет­ся 33 ко­роб­ки мас­сой 19 кг каж­дая и 27 ко­ро­бок мас­сой 49 кг каж­дая. Все эти ко­роб­ки рас­кла­ды­ва­ют­ся по двум кон­тей­не­рам. Пусть S  — мо­дуль раз­но­сти сум­мар­ных масс ко­ро­бок в кон­тей­не­рах. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S:

а)  если до­пол­ни­тель­но тре­бу­ет­ся, что в кон­тей­не­рах долж­но на­хо­дить­ся оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство ко­ро­бок;

б)  без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­та а.

На­зо­вем кусок ве­рев­ки стан­дарт­ным, если его длина не мень­ше 168 см, но не боль­ше 175 см.

а)  Не­ко­то­рый моток ве­рев­ки раз­ре­за­ли на 24 стан­дарт­ных куска, среди ко­то­рых есть куски раз­ной длины. На какое наи­боль­шее число оди­на­ко­вых стан­дарт­ных кус­ков можно было бы раз­ре­зать тот же моток ве­рев­ки?

б)  Най­ди­те такое наи­мень­шее число l, что любой моток ве­рев­ки, длина ко­то­ро­го боль­ше l см, можно раз­ре­зать на стан­дарт­ные куски.

Даны n ≥ 3 на­ту­раль­ных чисел, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

а)  Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 10?

б)  Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 1000?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния n, если сумма всех дан­ных чисел равна 129.

В клас­се учит­ся 15 маль­чи­ков и n де­во­чек. Ана­ли­зи­руя успе­ва­е­мость уча­щих­ся по пред­ме­ту за по­лу­го­дие, завуч за­ме­тил, что общее ко­ли­че­ство оце­нок в жур­на­ле со­став­ля­ет n² + 13n − 2, причём все уче­ни­ки имеют оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство оце­нок.

а)  Может ли в клас­се быть 16 де­во­чек?

б)  Сколь­ко может быть де­во­чек в клас­се?

в)  Сколь­ко оце­нок по­лу­чил каж­дый уче­ник по пред­ме­ту за по­лу­го­дие?

Во­воч­ка на­пи­сал до­маш­нее со­чи­не­ние и до­пу­стил ор­фо­гра­фи­че­ские и пунк­ту­а­ци­он­ные ошиб­ки. Затем его сест­ра про­ве­ри­ла со­чи­не­ние и ис­пра­ви­ла часть оши­бок. В новом тек­сте ко­ли­че­ство пунк­ту­а­ци­он­ных оши­бок ока­за­лось в пре­де­лах от 15,5% до 18% от числа пунк­ту­а­ци­он­ных оши­бок в ста­ром тек­сте. Ко­ли­че­ство ор­фо­гра­фи­че­ских оши­бок умень­ши­лось втрое и со­ста­ви­ло 25% от числа пунк­ту­а­ци­он­ных оши­бок в пер­во­на­чаль­ном тек­сте.

а)  Может ли в новом тек­сте со­дер­жать­ся ровно 5 оши­бок?

б)  Может ли в новом тек­сте со­дер­жать­ся ровно 6 оши­бок?

в)  Какое наи­мень­шее число оши­бок могло со­дер­жать­ся в пер­во­на­чаль­ном тек­сте?

Пусть S(x)  — сумма цифр на­ту­раль­но­го числа x. Ре­ши­те урав­не­ния:

а)  x + S(x)  =  2017;

б)  x + S(x) + S(S(x))  =  2017;

в)  x + S(x) + S(S(S(x)))  =  2017.

г)  x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x)))  =  2017.

а)  При­ве­ди­те при­мер на­ту­раль­но­го числа, мень­ше­го 100 000, ко­то­рое де­лит­ся на 2018 и у ко­то­ро­го сумма цифр равна 26.

б)  Най­ди­те все такие числа.

в)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа, мень­шие 100 000, ко­то­рые де­лят­ся на 2017 и у ко­то­рых сумма их цифр равна 23.

Име­ет­ся 2 мил­ли­о­на руб­лей, ко­то­рые надо пол­но­стью ис­тра­тить на по­куп­ку пу­те­вок. Дома от­ды­ха пред­ла­га­ют пу­тев­ки трех типов: на 15, 27 и 45 дней. Сто­и­мость пу­те­вок со­от­вет­ствен­но 21 тыс. руб., 40 тыс. руб. и 60 тыс. руб. за штуку.

а)  Можно ли ку­пить 15 пу­те­вок пер­во­го типа?

б)  Какое наи­мень­шее воз­мож­но число пу­те­вок вто­ро­го типа можно ку­пить?

в)  Сколь­ко и каких пу­те­вок надо ку­пить, чтобы сде­лать число дней от­ды­ха наи­боль­шим?

В фирме име­ет­ся n от­де­лов, в одном из ко­то­рых ра­бо­та­ет 1/8 со­труд­ни­ков, в дру­гом  — 210 со­труд­ни­ков, а чис­лен­ность каж­до­го из остав­ших­ся от­де­лов со­став­ля­ет 1/9 от всего ко­ли­че­ства со­труд­ни­ков фирмы.

а)  Может ли быть n > 9?

б)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.

В оке­а­на­ри­уме живут акулы, му­ре­ны и скаты. Каж­дой акуле еже­днев­но дают 2,5 кг рыбы, му­ре­не  — 0,2 кг, скату  — 1,5 кг. У каж­дой акулы бы­ва­ет еже­днев­но 260 по­се­ти­те­лей, у каж­дой му­ре­ны  — 21, у каж­до­го ската  — 150.

а)  Най­ди­те число по­се­ще­ний этих жи­вот­ных, если еже­днев­но им дают 6,5 кг рыбы?

б)  В какой-то день было боль­ше 2000 по­се­ще­ний. Могло ли быть рас­пре­де­ле­но ровно 18,4 кг рыбы?

в)  Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное еже­днев­ное число по­се­ще­ний, если рас­пре­де­лить 7 кг рыбы в день?

В хра­ни­ли­ще за­вез­ли пар­тию зо­ло­тых слит­ков двух видов: весом 11,1 кг и 13,3 кг. Общий вес пар­тии равен S.

а)  Может ли S  =  363 кг?

б)  Может ли S  =  364 кг?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние S < 363.

Трое дру­зей Саша, Петя и Паша иг­ра­ли в шах­ма­ты.

а)  Могло ли быть, что по ито­гам тур­ни­ра каж­дый из них сыг­рал по 15 пар­тий?

б)  Могли ли ко­ли­че­ства пар­тий, сыг­ран­ные иг­ро­ка­ми, об­ра­зо­вы­вать гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

в)  В тур­ни­ре было сыг­ра­но 23 пар­тии. Могли ли ко­ли­че­ства пар­тий, сыг­ран­ных иг­ро­ка­ми, об­ра­зо­вы­вать ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?

г)  Ко­ли­че­ство пар­тий, сыг­ран­ных Сашей, Петей и Пашей, в ука­зан­ном по­ряд­ке об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Всего в тур­ни­ре сыг­ра­но 30 пар­тий. Сколь­ко пар­тий Саша сыг­рал с Пашей?