СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 531027

Пусть S(x) — сумма цифр натурального числа x. Решите уравнения:

а) x + S(x) = 2017;

б) x + S(x) + S(S(x)) = 2017;

в) x + S(x) + S(S(S(x))) = 2017.

Решение.

Сразу заметим, что x < 2017 во всех пунктах. Кроме того, Наконец, остатки от деления на 9 у чисел x, S(x), S(S(x)), ... равны.

а) Из вышесказанного следует, что а остаток от деления на 9 числа равен 5 (только 5 + 5 дает остаток 1 при делении на 9 как и 2017). Перебирая числа 1994, 2003, 2012, получаем, что первое и третье подходят.

б, в) Сумма трех чисел с одинаковыми остатками от деления на 9 всегда кратна трем, поэтому такое невозможно.

 

Ответ: а) 1994, 2012; б, в) нет решений.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 297.