Сразу за­ме­тим, что x < 2017 во всех пунк­тах. Кроме того, На­ко­нец, остат­ки от де­ле­ния на 9 у чисел x, S(x), S(S(x)), ... равны.

а)  Из вы­ше­ска­зан­но­го сле­ду­ет, что а оста­ток от де­ле­ния на 9 числа x равен 5 (толь­ко 5 + 5 дает оста­ток 1 при де­ле­нии на 9 как и 2017). Пе­ре­би­рая числа 1994, 2003, 2012, по­лу­ча­ем, что пер­вое и тре­тье под­хо­дят.

б), в) Сумма трех чисел с оди­на­ко­вы­ми остат­ка­ми от де­ле­ния на 9 все­гда крат­на трем, по­это­му такое не­воз­мож­но.

г) В силу не­ра­венств S(x) ≤ 28, S(S(x)) ≤ 10, за­клю­ча­ем, что S(S(S(x)))  — од­но­знач­ное число. Пусть оно равно m. Число 2017 при де­ле­нии на 9 дает оста­ток 1, а левая часть при де­ле­нии на 9 дает оста­ток 4m, по­это­му 4m  =  9n + 1. Един­ствен­ное воз­мож­ное зна­че­ние m  =  7, а тогда S(S(x))  =  7 и урав­не­ние при­мет вид x + S(x) + 7 + 7  =  2017, или x + S(x)  =  2003. В силу того, что S(x) не боль­ше 28, по­лу­ча­ем, что S(x) равно 7, или 16, или 25. Рас­смот­рим эти слу­чаи.

Если S(x)  =  7, то x ≤ 1600, тогда ра­вен­ство x + S(x)  =  2003 не­воз­мож­но.

Если S(x)  =  16, то x ≤ 1960, и сумма x + S(x) мень­ше 2017.

Если S(x)  =  25, то x  =  2003 − 25=1978.

Ответ: а) 1994, 2012; б), в) нет ре­ше­ний; г) 1978.