Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 514923

Назовем кусок веревки стандартным, если его длина не меньше 168 см, но не больше 175 см.

а) Некоторый моток веревки разрезали на 24 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число l, что любой моток веревки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть L — длина мотка верёвки. Коль скоро его можно разрезать на 24 стандартных куска, выполнено неравенство L больше 168 умножить на 24. А так как не все куски имеют одинаковую длину, неравенство является строгим: L больше 168 умножить на 24.

По тем же самым причинам справедливо неравенство L меньше 175 умножить на 24. Итак,

168 умножить на 24 меньше L меньше 175 умножить на 24.

 

Теперь заметим, что 168 = 7 умножить на 24 и 175 = 7 умножить на 25. Поэтому 175 умножить на 24 = 7 умножить на 25 умножить на 24 = 168 умножить на 25, и мы получаем новое двойное неравенство для L:

168 умножить на 24 меньше L меньше 168 умножить на 25.

Предположим, что моток можно разрезать на n больше 25 стандартных кусков одинаковой длины. Тогда имеем неравенство

L больше 168n больше 168 умножить на 25,

которое противоречит неравенству. Следовательно, n меньше или равно 24.

Покажем, что наш моток можно разрезать на 24 одинаковых стандартных куска. Из неравенства следует, что L = 168 умножить на 24 плюс x, где x меньше 168. Разрежем моток на 24 куска одинаковой длины; тогда длина d одного куска равна:

d=168 плюс дробь, числитель — x, знаменатель — 24 .

С одной стороны, d больше 168. С другой стороны,

d меньше 168 плюс дробь, числитель — 168, знаменатель — 24 =168 плюс 7=175.

Итак, 168 меньше d меньше 175, так что куски являются стандартными. Следовательно, данный моток разрезается самое большее на 24 одинаковых стандартных куска.

б) Сформулируем и решим задачу в общем виде — тем самым яснее проявится идея её решения.

Пусть a и b — натуральные числа (a < b). Всякое число, расположенное на отрезке [a;b], называем стандартным. Нам надо найти такое наименьшее число l, что любое число L больше l можно представить в виде суммы стандартных слагаемых.

Cуществует наибольшее натуральное n, для которого выполнено неравенство

(n минус 1)b меньше na.

В самом деле, нетрудно видеть, что это есть наибольшее натуральное n, удовлетворяющее неравенству n меньше дробь, числитель — b, знаменатель — (b минус a) . Обозначим его n0:

n_0=\max{n принадлежит N :(n минус 1)b меньше na} = \max левая фигурная скобка n принадлежит N : n меньше дробь, числитель — b, знаменатель — b минус a правая фигурная скобка .

Пусть сначала l меньше n_0a. Покажем, что найдётся L больше l, не представимое в виде суммы стандартных слагаемых. Возьмём L таким, что max{l,n_0a минус 1} меньше L меньше n_0a. Иными словами, мы выбираем число L, одновременно удовлетворяющее двум условиям:

1) L больше l;

2) n_0a минус 1 меньше L меньше n_0a.

Поскольку (n_0 минус 1)b меньше n_0a, из второго условия следует неравенство

(n_0 минус 1)b меньше L меньше n_0a.

Предположим, что L равно сумме k стандартных слагаемых. Тогда ka меньше или равно L меньше или равно kb. Отсюда и из неравенства следует, что одновременно выполнены неравенства k больше n_0 минус 1 и k меньше n_0. Полученное противоречие показывает, что L нельзя представить в виде суммы стандартных

слагаемых.

Пусть теперь l = n_0a. Покажем, что любое число L больше l можно представить в виде суммы стандартных слагаемых.

Для любого L найдётся натуральное n такое, что na меньше или равно L меньше (n плюс 1)a. Поскольку выполнено L больше n_0a, имеем n плюс 1 больше n_0. Отсюда в соответствии с определением числа n0 заключаем, что (n плюс 1)a меньше или равно nb. Это даёт нам неравенство

na меньше или равно L меньше nb,

или

a меньше или равно дробь, числитель — L, знаменатель — n меньше b.

Следовательно, L можно представить в виде суммы n стандартных слагаемых, каждое из которых равно  дробь, числитель — L, знаменатель — n .

Таким образом, мы нашли наименьшее l, такое, что любое число L больше l представляется суммой стандартных слагаемых. Это наименьшее l равно n_0a.

Остаётся применить полученные результаты к исходной задаче. Имеем: a = 168, b = 175, так что

 дробь, числитель — b, знаменатель — b минус a = дробь, числитель — 175, знаменатель — 7 =25.

Находим n_0 = 24. Тогда l = n_0a = 24 умножить на 168 = 4032.

 

Ответ: а) 24; б) 4032.


Аналоги к заданию № 500068: 500351 514923 Все

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки