СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 530388

В классе учится 15 мальчиков и n девочек. Анализируя успеваемость учащихся по предмету за полугодие, завуч заметил, что общее количество оценок в журнале составляет n2 + 13n − 2, причём все ученики имеют одинаковое количество оценок.

а) Может ли в классе быть 16 девочек?

б) Сколько может быть девочек в классе?

в) Сколько оценок получил каждый ученик по предмету за полугодие?

Решение.

а) При общее число оценок составит что не делится на

б) Всего учеников в классе поэтому

должно делиться на Тогда 28 делится на причем n — неотрицательное число. Единственный делитель 28, не меньший 15 — само число 28. Тогда откуда

в) Общее число оценок равно поэтому каждый получил 12 оценок.

 

Приведём другое решение.

Пусть каждый ученик получил k оценок, тогда 15 мальчиков получили 15k оценок, а n девочек — kn оценок. Общее количество оценок равно поэтому где числа k и n — натуральные. Выразим k:

Правая часть должна быть натуральным числом, а значит, дробь, стоящая в ней, должна быть сократима. Так как знаменатель дроби не меньше 16, он может быть равен только 28. Тогда откуда Тем самым, в классе учится 13 девочек, каждый из учащихся получил 12 оценок.

 

Ответ: а) нет; б) 13; в) 12.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 294.