СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 531311

а) Приведите пример натурального числа, меньшего 100 000, которое делится на 2018 и у которого сумма цифр равна 26.

б) Найдите все такие числа.

в) Найдите все натуральные числа, меньшие 100 000, которые делятся на 2017 и у которых сумма их цифр равна 23.

Решение.

Натуральное число, делящееся на 2018, можно записать в виде 2018n, где n — натуральное число. Поскольку в пунктах а) и б) Аналогично в пункте в): поэтому Осталось для пунктов а) и б) выписать 49 чисел: 2018, 2036, 6054, ..., а для пункта в) — числа 2017, 2034, 6051, ..., и для каждого из них найти сумму цифр.

Перебор можно сократить. Остаток от деления 2018 на 9 равен 2, а у числа с суммой цифр 26 этот остаток равен 8. Поэтому в качестве n для пунктов а) и б) могут подойти только числа, дающие при делении на 9 остаток 4. Это числа 4, 13, 22, 31, 40 и 49. Сделаем проверки:

  4 · 2018 = 8072 не подходит,

13 · 2018 = 26 234 не подходит,

22 · 2018 = 44 396 подходит,

31 · 2018 = 62 558 подходит,

40 · 2018 = 80 720 не подходит,

49 · 2018 = 98 882 не подходит,

Остаток от деления 2017 на 9 равен 1, а у числа с суммой цифр 23 этот остаток равен 5. Поэтому в качестве n могут подойти только числа, дающие при делении на 9 остаток 5. Проверим такие n:

  5 · 2017 = 10 085 не подходит,

14 · 2017 = 28 238 подходит,

23 · 2017 = 46 391 подходит,

32 · 2017 = 64 544 подходит,

41 · 2017 = 82 697 не подходит.

 

Ответ: а) 44 396, б) 44 396 и 62 558, в) 28 238, 46 391, 64 544.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 298.