Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д18 C7 № 528149

Даны n ≥ 3 натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию.

а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в)  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

Спрятать решение

Решение.

а)  Да, может. Например, числа 1, 1, ..., 1 (десять единиц) образуют арифметическую прогрессию и дают в сумме 10.

б)  Наибольшее натуральное число, меньшее 1000,  — 999. Такую сумму имеет арифметическая прогрессия, все 999 членов которой равны 1. Очевидно, что большему количеству членов прогрессии будет соответствовать сумма, большая 999.

в)  Заметим, что 129 = 1 · 3 · 43. Поэтому прогрессии, состоящие из 129 единиц, или 43 троек, или трех чисел 43 подходят, а другие постоянные арифметические прогрессии  — нет. Рассмотрим случай, когда прогрессия непостоянная. Без ограничения общности будем считать, что она возрастающая. Пусть a  — ее первый член, а d  — разность. Тогда для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

 дробь: числитель: 2a плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n = 129 равносильно левая круглая скобка 2a плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n=258.

Таким образом, число n является делителем числа 258 = 2 · 3 · 43. Если n больше или равно 43, то  левая круглая скобка 2a плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка n больше или равно 44 умножить на 43 больше 258, следовательно, n меньше 43. Поскольку n больше или равно 3, получаем, что n=3 или n=6. Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

 

Ответ: а) да; б) 999; в) 3, 6, 43, 129.

 

Примечание.

Это же задание для различных чисел, образующих арифметическую прогрессию, было предложено в 2013 году на досрочном ЕГЭ по математике (см. задание 502119). Приводим решение ниже.

 

Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть a  — первый член этой прогрессии, d её разность. Тогда сумма её членов S_n= дробь: числитель: 2a плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби n.

 

а)  Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 составляют арифметическую прогрессию, и их сумма равна 10.

 

б)  Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство

 дробь: числитель: 2a плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n больше или равно дробь: числитель: 2 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на n = дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .

Значит,  дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби меньше 1000, откуда находим n меньше или равно 44. Сумма арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990 < 1000 . Значит, наибольшее значение n равно 44.

 

в)  Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

 дробь: числитель: 2a плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на n = 129;~ левая круглая скобка 2a плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка n=258=2 умножить на 3 умножить на 43.

Таким образом, число n является делителем числа 258. Если n больше или равно 43, то  левая круглая скобка 2a плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка n больше или равно 44 умножить на 43 больше 258, следовательно, n меньше 43. Поскольку n больше или равно 3, получаем, что n=3 или n=6. Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

 

Ответ: а) да; б) 44; в) 3, 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 284.