Даны n ≥ 3 натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию.
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.
а) Да, может. Например, числа 1, 1, ..., 1 (десять единиц) образуют арифметическую прогрессию и дают в сумме 10.
б) Наибольшее натуральное число, меньшее 1000, — 999. Такую сумму имеет арифметическая прогрессия, все 999 членов которой равны 1. Очевидно, что большему количеству членов прогрессии будет соответствовать сумма, большая 999.
в) Заметим, что 129 = 1 · 3 · 43. Поэтому прогрессии, состоящие из 129 единиц, или 43 троек, или трех чисел 43 подходят, а другие постоянные арифметические прогрессии — нет. Рассмотрим случай, когда прогрессия непостоянная. Без ограничения общности будем считать, что она возрастающая. Пусть a — ее первый член, а d — разность. Тогда для суммы членов арифметической прогрессии имеем:
Таким образом, число n является делителем числа 258 = 2 · 3 · 43. Если 
то 
следовательно, 
Поскольку 
получаем, что 
или 
Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.
Ответ: а) да; б) 999; в) 3, 6, 43, 129.
Примечание.
Это же задание для различных чисел, образующих арифметическую прогрессию, было предложено в 2013 году на досрочном ЕГЭ по математике (см. задание 502119). Приводим решение ниже.
Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть a — первый член этой прогрессии, d её разность. Тогда сумма её членов 
а) Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 составляют арифметическую прогрессию, и их сумма равна 10.
б) Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство
Значит, 
откуда находим 
Сумма арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990 < 1000. Значит, наибольшее значение n равно 44.
в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:
Таким образом, число n является делителем числа 258. Если то следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.
Ответ: а) да; б) 44; в) 3, 6.