Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение, меньшее 2.
Решение. Сделаем замену 
Поскольку 
то 
и каждому такому t соответствует единственное 
Получаем задачу — при каких a уравнение 
имеет корень, больший чем 
?
Построим график этого уравнения в плоскости tOa.
Прямые 
и 
разбивают плоскость на четыре части (I, II, III и IV), в каждой из которых график уравнения 
представляет собой часть параболы.
В области I оба подмодульных выражения положительны и уравнение принимает вид
Графиком 
является парабола с вершиной в точке с координатами 
В области II выражение 
отрицательно, а выражение 
положительно и уравнение принимает вид
Графиком 
является парабола с вершиной в точке с координатами 
Для области III получим
Графиком 
является парабола с вершиной в точке с координатами 
Для области IV получим
Графиком 
является парабола с вершиной в точке с координатами 
Задача свелась к ответу на вопрос: при каких значениях a, горизонтальная прямая имеет пересечение с графиком функции правее вертикальной прямой 
(красная линия).
Получаем ответ: при
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обосновано. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра. | 2 |
| Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
получаем:
Наибольшая разность корней достигается в том случае, когда эта прямая содержит диаметр окружности, то есть при a = 2.
(здесь a — значение параметра). Квадратичная функция 
с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке 
Проверим, что при найденном значении параметра подкоренное выражение неотрицательно: 
Следовательно, наибольшее значение модуля разности достигается при a = 2.
существует хотя бы одно число x, неудовлетворяющее неравенству 
определяет на плоскости Oxa полосу, заключенную между прямыми 
и 
Неравенство 
задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой.
пересекает параболу при 
это означает, что на интервале 
поэтому знаменатель исходной дроби имеет корни a и 
Если числа 2, a и 
попарно различны, то искомое множество ― объединение двух промежутков, а не луч. Значит, для того, чтобы множеством решений неравенства 
или 
то множеством решений данного неравенства также является не луч, а объединение двух промежутков: 
(см. рис. 1).
то 
поскольку, согласно условию, 
(см. рис. 2).
).
то неравенство, а значит, и система не имеет решений. 
то решение неравенства — луч 
то решение неравенства — луч 
первое неравенство системы принимает вид
Очевидно, что при 
решение системы будет содержать луч вида 
где b — большее из чисел 
и 
а значит, система будет иметь решение.
первое неравенство исходной системы, а значит, и система не будет иметь решений. В остальных случаях решением первого неравенства исходной системы будет полуинтервал с концами в точках 
Отметим, что точки 
нет во множестве решений первого неравенства. 
получаем ответ.
и заметим, что 
Очевидно, число решений системы будет совпадать с числом решений уравнения 
Очевидно, 
является его решением при всех a.
уравнение сводится к 
Это уравнение имеет два положительных корня, если 
то есть при 
и один положительный корень при 
или 
уравнение сводится к 
Это уравнение имеет два отрицательных корня, если 
то есть при 
и один отрицательный корень при 
или 
система будет иметь два решения;
система будет иметь четыре решения;
система будет иметь три решения;
система будет иметь четыре решения;
система будет иметь два решения.
или 
; возможно, с включением граничных точек.
неравенство не имеет решений.
решением являются все точки, лежащие правее прямой 
но левее правой ветви параболы 
решением являются все точки между прямыми 
то есть 
решением являются все точки, лежащие правее правой ветви параболы 
и левее прямой 
неравенство не имеет решений.
и график корня 
пересекаются в точке A(2; 1). Гипербола и прямая 
пересекаются в точке 
График корня и прямая пересекаются в точке C(5; 2). Множество точек, координаты которых удовлетворяют заданной системе (выделено штриховкой на рисунке), состоит из точек криволинейного треугольника ABC, не включая границу, лежащую на дуге АС.
дают искомое множество: заданная система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4] при 
имеющий общие точки с отрезком [3; 4].
то 
Тогда решением системы является отрезок 
Он существует, если
этот отрезок вырождается в точку 4, система имеет единственное решение 
это решение лежит на отрезке [3; 4]. 
то 
В этом случае решением системы является полуинтервал 
Этот полуинтервал существует, если
и 
а неравенство 
задаёт часть плоскости выше параболы с вершиной (−4; −4), ветви которой направлены вверх. Найдём координаты точки A пересечения параболы с прямой 
соответствует точке пересечения, лежащей во второй четверти. Для большего корня справедливы неравенства:
находим: 
и двух тупых углов, ограниченных прямыми 
и 
(см. рис., выделено жирным контуром). Найдём абсциссы их точек пересечения.
то есть для всех a из отрезка
и для 
при 
и 
при 
Поэтому первое неравенство системы равносильно двойному неравенству 
при 
при 
При 
исходная система принимает вид:
выполнено неравенство 
поскольку 
Поэтому при 
откуда 
Заметим, что максимальное значение функции 
на отрезке 
равно 4, а минимальное значение функции 
равно 
Значит, выполнено неравенство 
Кроме того, при 
больший корень уравнения 
удовлетворяет системе неравенств, поскольку функция 
до 4 и её значения в точке отрезка 
Таким образом, исходная система неравенств имеет хотя бы одной решение при 
и/или 
или 
Тогда корень 
принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ.
принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ. Тогда уравнение имеет единственное решение на заданном отрезке, если второй корень не принадлежит отрезку [4; 8] или не удовлетворяет ОДЗ. Имеем:
принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ. Тогда уравнение имеет единственное решение на заданном отрезке, если первый корень не принадлежит отрезку [4; 8] или не удовлетворяет ОДЗ. Имеем:
и 
лежащие внутри круга, ограниченного окружностью 
найдём, подставив в уравнение окружности 
Прямая 
и окружность 
и 
Прямая 
и окружность 
пересекаются в точках 
и 
Неравенству удовлетворяет, например, точка A(5; 0) — центр окружности. Таким образом, множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению, состоит из дуг BD и CE.
в точках (2; −4) и (2; 4). Прямая x = 6 пересекает окружность 
и 
при 
и 
и/или 
и 
, множества значений a, возможно, с исключением граничных точек.
в плоскости xOa на интервале
При 
уравнение имеет вид 
При 
уравнение имеет вид 
(см. рис).
и при 
уравнение имеет единственное решение.
или при a = 0. При a = −4 уравнение не имеет корней, которые удовлетворяют условию задачи.
каждому значению переменной y соответствует не более двух значений переменной x, а именно, если 
то два значения, 
то одно значение, 
то соответствующих значений переменной x не существует. Значит, количество решений системы не превышает удвоенного числа корней уравнения 
Построим эскиз графика этого уравнения в системе координат 
уравнение (⁎), а значит, и исходная система не имеют решений. При 
или 
уравнение (⁎) имеет два корня, значит, исходная система имеет не более четырёх решений. При 
уравнение (⁎) имеет четыре корня, все эти корни такие, что 
уравнение (⁎) имеет три корня, все эти корни такие, что 
с центрами в точках 
и 
лежащих выше и ниже прямой 
соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках 
и 
Количество корней равнения равно количеству точек пересечения графика уравнения с горизонтальной прямой при соответствующем значении a. 
уравнение не имеет корней;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет четыре корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет четыре корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет один корень;
уравнение не имеет корней.
или при 
