ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 514621 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$система выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 9 минус y правая круглая скобка = |x минус 3| в кубе ,y=x плюс a конец системы .$

имеет ровно четыре различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену $x минус 3=t$ и заметим, что $y=t плюс a плюс 3.$ Очевидно, число решений системы будет совпадать с числом решений уравнения $t левая круглая скобка 2t минус a минус 3 правая круглая скобка =|t| в кубе .$ Очевидно, $t=0$ является его решением при всех a.

При $t больше 0$ уравнение сводится к $t в квадрате =2t минус a минус 3,$ $левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате = минус a минус 2.$ Это уравнение имеет два положительных корня, если $минус a минус 2 принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка ,$ то есть при $a принадлежит левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая круглая скобка$ и один положительный корень при $a= минус 2$ или $a\leqslant минус 3.$

При $t меньше 0$ уравнение сводится к $минус t в квадрате =2t минус a минус 3,$ $левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =a плюс 4.$ Это уравнение имеет два отрицательных корня, если $a плюс 4 принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка ,$ то есть при $a принадлежит левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка$ и один отрицательный корень при $a= минус 4$ или $a\geqslant минус 3.$

Значит,

—  при $a меньше минус 4$ система будет иметь два решения;

—  при $a= минус 4$ система будет иметь три решения;

—  при $минус 4 меньше a меньше минус 3$ система будет иметь четыре решения;

—  при $a= минус 3$ система будет иметь три решения;

—  при $минус 3 меньше a меньше минус 2$ система будет иметь четыре решения;

—  при $a= минус 2$ система будет иметь три решения;

—  при $a больше минус 2$ система будет иметь два решения.

Поэтому нужное количество корней будет при $a принадлежит левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка ,$ $a принадлежит левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая круглая скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
C помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точки а  =  −3.	3
C помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a: $левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка$ или $левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая круглая скобка$ ; возможно, с включением граничных точек.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения парабол и прямых (аналитически и графически). ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 514621: 514635 Все

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 610 (часть 2)

Классификатор алгебры: Координаты (x, a)

Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата, Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь

Дмитрий Петренко 05.11.2017 19:17

(-3;-2) дает 3 решения, а не 4.

Александр Иванов

При $минус 3 меньше a меньше минус 2$ будет два положительных корня, один отрицательный и нуль. Итого, четыре корня