Ре­ше­ние. Боль­шая вы­со­та про­ве­де­на к мень­шей сто­ро­не. Имеем:

Ответ: 18.

При­ве­дем при­ме­ча­ние Дмит­рия Д.

За­ме­тим, что точка H лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны AB па­рал­ле­ло­грам­ма. В самом деле, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ADH имеем:

За­ме­тим, что рас­по­ло­же­ние точки H на ри­сун­ке не вли­я­ет на пра­виль­ность ре­ше­ния, за­да­чу можно ре­шить вовсе без ри­сун­ка.

При­ведём ре­ше­ние Мар­се­ля Да­вы­до­ва (Аба­кан).

Найдём пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма:

Чтобы найти вы­со­ту, вос­поль­зу­ем­ся дру­гой фор­му­лой для на­хож­де­ния пло­ща­ди: от­ку­да

Ре­ше­ние. Пло­щадь квад­ра­та равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. По­это­му она равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Ре­ше­ние. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну. Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна a, тогда вто­рая равна a + 3. По­это­му S  =  a · (a + 3)  =  18, по­лу­ча­ем a² + 3a − 18  =  0. Решая квад­рат­ное урав­не­ние, по­лу­ча­ем, что a  =  3. Тогда боль­шая сто­ро­на будет равна 6.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен сумме длин всех сто­рон. Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна a, тогда вто­рая равна 2a. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка будет со­от­вет­ствен­но равна S  =  2a²  =  18, тогда одна из сто­рон равна 3, а дру­гая 6. По­это­му P  =  2 · 3 + 2 · 6  =  18.

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен сумме длин всех сто­рон. Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна a, вто­рая равна b. Пло­щадь и пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка будут со­от­вет­ствен­но равны S  =  a · b  =  98, P  =  2 · a + 2 · b  =  42. Тогда имеем:

По­это­му боль­шая сто­ро­на равна 14.

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен сумме длин его сто­рон. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну. Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна a, вто­рая равна b. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка будет со­от­вет­ствен­но равен P  =  2 · a + 2 · b  =  28. Диа­го­наль об­ра­зу­ет в пря­мо­уголь­ни­ке два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра a² + b²  =  100. Тогда имеем:

Таким об­ра­зом, S  =  a · b  =  48.

Ответ: 48.

Ре­ше­ние. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен сумме длин его сто­рон. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна их про­из­ве­де­нию. Обо­зна­чим длины сто­рон a и Тогда пе­ри­метр и пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны и Решим си­сте­му:

Таким об­ра­зом, сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка тре­уголь­ни­ка равны 5 и 12.

Диа­го­наль раз­би­ва­ет пря­мо­уголь­ник на два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка, в ко­то­рых она яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой. Пусть длина диа­го­на­ли равна c, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 13.

При­ме­ча­ние 1.

Можно за­ме­тить, что си­сте­ма урав­не­ний яв­ля­ет­ся си­сте­мой Виета. По­это­му её ре­ше­ния  — корни квад­рат­но­го урав­не­ния от­ку­да и

При­ме­ча­ние 2.

Можно было и вовсе не ре­шать си­сте­му урав­не­ний: дей­стви­тель­но,

от­ку­да

Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию его сто­рон на синус угла между ними. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длины на ши­ри­ну. Пусть одна сто­ро­на па­рал­ле­ло­грам­ма и пря­мо­уголь­ни­ка равна a, а вто­рая равна b, а ост­рый угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен Тогда пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна а пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна

По усло­вию пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка вдвое боль­ше: Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Пусть x  — ис­ко­мая вы­со­та. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию его ос­но­ва­ния на вы­со­ту, опу­щен­ную на это ос­но­ва­ние. Вы­чис­лим пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма двумя спо­со­ба­ми:

Из по­лу­чен­но­го урав­не­ния на­хо­дим x  =  6.

Ответ: 6.

При­ме­ча­ние.

Рань­ше к этому за­да­нию со­ста­ви­те­ли да­ва­ли ри­су­нок, при­ведённый спра­ва. Вни­ма­тель­ный чи­та­тель за­ме­тит, что он не­вер­ный. Дей­стви­тель­но, если в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DGC вы­чис­лить длину ка­те­та CG, то ока­жет­ся, что

Свя­за­но это с тем, что на самом деле ос­но­ва­ние вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма па­да­ет на про­дол­же­ние сто­ро­ны CB за точку B (см. рис.). Для ре­ше­ния за­да­чи ри­су­нок не нужен.

Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию его ос­но­ва­ния на вы­со­ту, опу­щен­ную на это ос­но­ва­ние. Пусть вы­со­ты равны со­от­вет­ствен­но a и b. Тогда S  =  5 · a  =  10 · b  =  40. По­это­му a  =  8, b  =  4. Боль­шая вы­со­та равна 8.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию квад­ра­та его сто­ро­ны на синус его угла. С дру­гой сто­ро­ны, пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию его ос­но­ва­ния на вы­со­ту, опу­щен­ную на это ос­но­ва­ние. По­это­му если сто­ро­на ромба равна a, то

Из по­лу­чен­но­го урав­не­ния по­это­му

Ответ: 8.

При­ве­дем ре­ше­ние Вла­ди­ка Юр­чен­ко.

Пусть ост­рым углом ромба яв­ля­ет­ся угол A. Про­ве­дем вы­со­ту ромба из вер­ши­ны D к сто­ро­не AB и рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ADH, где H  — точка пе­ре­се­че­ния вы­со­ты и сто­ро­ны AB. Угол A равен 30°, сле­до­ва­тель­но, AD  =  2DH, по­сколь­ку катет, ле­жа­щей про­тив угла в 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Тогда AD  =  2 · 2  =  4. В ромбе все сто­ро­ны равны, тогда пло­щадь ромба

Ре­ше­ние. Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. По­это­му

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. Пусть мень­шая из диа­го­на­лей равна a, тогда боль­шая равна 3a. Сле­до­ва­тель­но,

По­это­му

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма равна 180°, зна­чит, сумма двух про­ти­во­по­лож­ных ост­рых углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна 100°. Ост­рый угол равен 50°, зна­чит, тупой угол равен 

Ответ: 130.

Ре­ше­ние. Сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма равна а их раз­ни­ца равна

Ответ: 125.

Ре­ше­ние. Сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма, равна

Ответ: 120.

Ре­ше­ние. Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма по­пар­но равны, зна­чит,

Зная, что пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма равен 46, на­хо­дим AD  =  10.

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. По­сколь­ку она вдвое боль­ше одной из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка, яв­ля­ю­щей­ся ка­те­том того же тре­уголь­ни­ка, то угол, ле­жа­щий про­тив этой сто­ро­ны, равен Боль­ший угол равен

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. По опре­де­ле­нию си­ну­са

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. Сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма, равна Тогда

Ответ: 126.

Ре­ше­ние. Cумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма, равна Тогда ис­ко­мый угол равен

Ответ: 90.

Ре­ше­ние. Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма по­пар­но равны, зна­чит,

Зная, что пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма равен 70, на­хо­дим: AB  =  20.

Ответ: 20.

При­ве­дем ре­ше­ние Ра­си­ля Са­ды­ко­ва.

Пусть мень­шая сто­ро­на па­рал­ле­ло­грам­ма равна 3x, тогда боль­шая сто­ро­на равна 4x, по­лу­чим урав­не­ние

Тогда боль­шая сто­ро­на па­рал­ле­ло­грам­ма равна 4 · 5  =  20.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что как на­крест ле­жа­щие углы при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых се­ку­щей. Зна­чит, тре­уголь­ник ADL рав­но­бед­рен­ный. Пусть тогда Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD по­пар­но равны, тогда

Ответ: 28.

Ре­ше­ние. ∠CBE  =  ∠BEA как на­крес­тле­жа­щие углы при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых AD и BC се­ку­щей BE. При этом ∠ABE  =  ∠CBE, по­сколь­ку BE  — бис­сек­три­са. Сле­до­ва­тель­но, ∠ABE  =  ∠BEA, тогда тре­уголь­ник ABE рав­но­бед­рен­ный, AE  =  AB  =  5. Ана­ло­гич­но до­ка­жем, что DE  =  DC  =  5. Сле­до­ва­тель­но, AD  =  AE + DE = 5 + 5  =  10.

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Тупой угол ромба равен 180° − 60°  =  120°. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов:

Ответ: 3.

При­ве­дем ре­ше­ние Лены Кис­ло­вой.

Тупой угол ромба равен 180° − 60°  =  120°. Диа­го­наль ромба делит угол по­по­лам, по­это­му по­лу­чим тре­уголь­ник с уг­ла­ми 120°, 30° и 30°, тогда по тео­ре­ме си­ну­сов

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сея Ла­ще­но­ва.

Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом, по­это­му тре­уголь­ник ADK пря­мо­уголь­ный. Диа­го­наль ромба делит угол по­по­лам, по­это­му угол DAK  =  30°. Тогда

При­ве­дем ре­ше­ние Вла­ди­ми­ра Ми­ти­те­лу.

Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом, по­это­му тре­уголь­ник ADO пря­мо­уголь­ный. Диа­го­наль ромба делит угол по­по­лам, по­это­му угол DAO  =  30°. Катет, ле­жа­щий про­тив угла в 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Сле­до­ва­тель­но,

Най­дем от­ре­зок AO по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

От­сю­да диа­го­на­ли точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Сле­до­ва­тель­но, диа­го­наль

При­ве­дем ре­ше­ние Люд­ми­лы Ко­си­но­вой.

Най­дем пло­щадь ромба двумя спо­со­ба­ми: В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке АВD угол А равен 60°. Сле­до­ва­тель­но, этот тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний: Тогда:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что сто­ро­на ромба равна 50. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Пусть OB  =  3x, тогда AO  =  4x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AO² + OB²  =  AB², по­это­му 25x²  =  2500, от­ку­да x  =  10. Тогда для вы­со­ты тре­уголь­ни­ка AOB имеем

Сле­до­ва­тель­но, вы­со­та ромба равна 2h  =  48.

Ответ: 48.

При­ве­дем ре­ше­ние Ра­си­ля Са­ды­ко­ва.

За­ме­тим, что сто­ро­на ромба равна 50. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Пусть OB  =  3x, тогда AO  =  4x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AO² + OB²  =  AB², по­это­му 25x²  =  2500, от­ку­да x  =  10, d₁  =  2 · 3x  =  60, d₂  =  2 · 4x  =  80. Пло­щадь ромба с дру­гой сто­ро­ны, по­лу­чим урав­не­ние 2400  =  50 · h, от­ку­да h  =  48.

Ре­ше­ние. Сто­ро­ны ис­ко­мо­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равны сред­ним ли­ни­ям тре­уголь­ни­ков, об­ра­зу­е­мых диа­го­на­ля­ми и сто­ро­на­ми дан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка. Таким об­ра­зом, сто­ро­ны ис­ко­мо­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равны по­ло­ви­нам диа­го­на­лей. Со­от­вет­ствен­но,

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Сумма углов B и C равна 180°, по­это­му угол С равен 58°. Диа­го­наль ромба AC яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла С, по­это­му ис­ко­мый угол ACD равен 29°.

Ответ: 29.

Ре­ше­ние. Диа­го­наль ромба AC яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла С, по­это­му он равен 86°. Сумма углов B и C равна 180°, по­это­му ис­ко­мый угол B равен 94°.

Ответ: 94.

Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию его ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний, умно­жен­ной на вы­со­ту. Вы­ра­зим пло­щадь тра­пе­ции через пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма:

Ответ: 141,75.

Ре­ше­ние. Че­ты­рех­уголь­ник, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны сто­рон про­из­воль­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, пло­щадь ко­то­ро­го равна по­ло­ви­не пло­ща­ди ис­ход­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка (см. па­рал­ле­ло­грамм Ва­ри­ньо­на).

По­это­му его пло­щадь равна 76,5.

Ответ: 76,5.

Ре­ше­ние. Пусть AH  — пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из точки A на про­дол­же­ние сто­ро­ны CD. Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка ADE через пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD:

Ответ: 44.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние:

Диа­го­наль AC делит па­рал­ле­ло­грамм на два рав­ных тре­уголь­ни­ка, пло­щадь каж­до­го из ко­то­рых равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ме­ди­а­на AE делит тре­уголь­ник ADC на два рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ка.

Зна­чит, пло­щадь тре­уголь­ни­ка ADE равна чет­вер­ти пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма

Ре­ше­ние. Диа­го­наль ромба яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой ту­по­го угла, по­это­му тупой угол равен 108°. Сумма ту­по­го и остро­го углов ромба равна 180°, по­это­му ост­рый угол равен 180° − 108°  =  72°.

Ответ: 72.

Ре­ше­ние. Пусть h  — вы­со­та па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, тогда его пло­щадь равна Пло­щадь тра­пе­ции BCDE равна

Ответ: 18.