В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC AH  — вы­со­та, CH  =  4. Най­ди­те

Век­тор  с кон­цом в точке B(5; 3) имеет ко­ор­ди­на­ты (3; 1). Най­ди­те ор­ди­на­ту точки

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

За круг­лый стол на 9 сту­льев в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 7 маль­чи­ков и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом.

Те­ле­фон пе­ре­даёт SMS-⁠со­об­ще­ние. В слу­чае не­уда­чи те­ле­фон де­ла­ет сле­ду­ю­щую по­пыт­ку. Ве­ро­ят­ность того, что со­об­ще­ние удаст­ся пе­ре­дать без оши­бок в каж­дой от­дель­ной по­пыт­ке, равна 0,4. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что для пе­ре­да­чи со­об­ще­ния по­тре­бу­ет­ся не боль­ше двух по­пы­ток.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции при­над­ле­жа­щих ин­тер­ва­лу (−4; 7).

Груз мас­сой 0,08 кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не. Его ско­рость υ ме­ня­ет­ся по за­ко­ну где t  — время с мо­мен­та на­ча­ла ко­ле­ба­ний, T  =  2 с  — пе­ри­од ко­ле­ба­ний, м/с. Ки­не­ти­че­ская энер­гия E (в джо­у­лях) груза вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где m  — масса груза в ки­ло­грам­мах, υ   — ско­рость груза в м/⁠с. Най­ди­те ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 1 се­кун­ду после на­ча­ла ко­ле­ба­ний. Ответ дайте в джо­у­лях.

Один ма­стер может вы­пол­нить заказ за 12 часов, а дру­гой  — за 6 часов. За сколь­ко часов вы­пол­нят заказ оба ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Опре­де­ли­те, какие из его кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку

а)  Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁. До­ка­жи­те, что все грани тет­ра­эд­ра ACB₁D₁  — рав­ные тре­уголь­ни­ки (тет­ра­эдр, об­ла­да­ю­щий таким свой­ством, на­зы­ва­ют рав­но­гран­ным).

б)  В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ най­ди­те угол между плос­ко­стью A₁BC и пря­мой BC₁, если AA₁  =  8, AB  =  6, BC  =  15.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Саша по­ло­жил не­ко­то­рую сумму в банк на 4 года под 10% го­до­вых. Од­но­вре­мен­но с ним Паша такую же сумму по­ло­жил на два года в дру­гой банк под 15% го­до­вых. Через два года Паша решил про­длить срок вкла­да еще на 2 года. Од­на­ко к тому вре­ме­ни про­цент­ная став­ка по вкла­дам в этом банке из­ме­ни­лась и со­став­ля­ла уже p% го­до­вых. В итоге через че­ты­ре года на счету у Паши ока­за­лась боль­шая сумма, чем у Саши, при­чем эта раз­ность со­ста­ви­ла менее 10% от суммы, вло­жен­ной каж­дым пер­во­на­чаль­но. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное целое зна­че­ние про­цент­ной став­ки.

Точки E и K  — со­от­вет­ствен­но се­ре­ди­ны сто­рон CD и AD квад­ра­та ABCD. Пря­мая BE пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой CK в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что во­круг четырёхуголь­ни­ка ABOK можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те AO, если сто­ро­на квад­ра­та равна 1.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­но 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с сум­мой 5100.

а)  Может ли быть за­пи­са­но число 250?

б)  Можно ли обой­тись без числа 11?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 11, может быть на доске?