1.
i
В тупоугольном треугольнике ABC
AH — высота, CH = 4. Найдите 
Заголовок:
Комментарий:
Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В тупоугольном треугольнике ABC
AH — высота, CH = 4. Найдите
Решение. Имеем:
Ответ:
Вектор
с концом в точке B(5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату 
Решение. Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Координаты точки A вычисляются следующим образом: 5 − x = 3, 3 − y = 1. Откуда x = 2, y = 2.
Ответ: 2.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение. Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2, 3, 1 и двух площадей прямоугольников со сторонами 2, 1:
Ответ: 18.
За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Решение. Пусть первой за стол сядет девочка, рядом с ней есть два места, на каждое из которых может сесть 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что девочки будут сидеть рядом, равна 
Ответ: 0,25.
Приведём другое решение (перестановки).
Число способов рассадить 9 человек по девяти стульям равно 
Благоприятным является случай, когда на «первом» стуле сидит «первая» девочка, на соседнем справа сидит «вторая» девочка, а на остальных семи стульях произвольным образом рассажены мальчики. Поскольку выбрать «первую» девочку можно двумя способами, количество таких исходов равно 
А так как «первым» стулом может быть любой из девяти стульев (стулья стоят по кругу), количество благоприятных исходов нужно умножить 
Приведём другое решение (круговые перестановки).
Напомним, что число способов, которыми можно расположить n различных объектов по n расположенным по кругу местам, равно (n − 1)!. Поэтому посадить за круглым столом 9 детей можно 8! способами. Объединим двух девочек в пару, это можно сделать двумя способами; рассадить по кругу 7 мальчиков и эту неделимую пару можно 7! способами. Таким образом, посадить детей требуемым образом можно 2 · 7! способами, поэтому искомая вероятность равна 
Примечание.
Рассуждая аналогично, получим, что в общем случае для n девочек и m мальчиков, сидящих девочки с девочками, а мальчики с мальчиками, количество способов занять места за круговым столом равно n!m!, а вероятность случайной рассадки требуемым образом равна 
Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
Решение. Вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток, равна сумме вероятностей того, что сообщение будет передано с первой попытки, и того, что сообщение будет передано со второй попытки. Вероятность неудачной отправки равна 1 − 0,4 = 0,6. Тогда искомая вероятность равна
Ответ: 0,64.
Приведем другое решение.
Вероятность того, что сообщение не будет отправлено за две попытки, равна 
Искомая вероятность противоположного события равна 
Найдите корень уравнения
Решение. Последовательно получаем:
Ответ: −0,5.
Найдите значение выражения 
Решение. Выполним преобразования:
Ответ: −1.
На рисунке изображён график функции 
Найдите количество точек максимума функции 
принадлежащих интервалу (−4; 7).
Решение. Точки максимума соответствуют точкам, в которых функция перестаёт возрастать и начинает убывать. На интервале (−4; 7) функция имеет четыре точки максимума.
Ответ: 4.
Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону 
где t — время с момента начала колебаний, T = 2 с — период колебаний, 
м/с.
где m — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через
Решение. Найдем скорость груза через 1 секунду после начала колебаний:
м/с.
Найдем кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний:
Ответ: 0,01.
Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
Решение. Первый мастер выполняет 1/12 работы в час, а второй — 1/6 работы в час. Следовательно, работая вместе, мастера выполняют 
работы в час. Поэтому всю работу мастера выполнят за 4 часа.
Приведем другое решение.
Время работы равно отношению объёма к скорости её выполнения. Поэтому два мастера, работая вместе, выполнят заказ за
часа.
Ответ: 4.
Приведем еще одно решение.
Два мастера работая вместе за 12 часов могут выполнить 3 таких заказа, значит, один заказ они смогут выполнить за 
часа.
На рисунке изображены графики функций
и 
которые пересекаются в точках
Решение. По графику, g(−2) = −1, g(−1) = −3, g(2) = 3. Тогда
Решая полученную систему, получаем: a = 1, b = 1, из g(2) = 3 получим c = −3. Теперь найдём абсциссу
Ответ: 6.
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
Решение. Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке 
заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
Ответ: 5.
а) Решите уравнение: 
б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку 
Решение. а) Пусть 
тогда исходное уравнение принимает вид 
откуда 
или 
Следовательно,
б) Поскольку 
корень 
не принадлежит отрезку Поскольку 
корень 
принадлежит отрезку
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) а) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что все грани тетраэдра ACB1D1 — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).
б) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью A1BC и прямой BC1, если AA1 = 8, AB = 6, BC = 15.
Решение. а) Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда — равные прямоугольники, поэтому их диагонали равны. Таким образом,
Значит, все грани равны по третьему признаку равенства треугольников.
б) Сечение плоскостью A1BC есть прямоугольник A1BCD1.
Из точки C1 проведем перпендикуляр C1H к CD1. C1H ⊥ CD1, C1H ⊥ CB, следовательно, C1H перпендикулярна плоскости A1BC. BH — проекция BC1 на плоскость A1BC. Значит, нужно найти угол C1BH.
В прямоугольном треугольнике D1C1C находим:
В прямоугольном треугольнике BCC1 находим: BC1 = 17.
В прямоугольном треугольнике C1HB находим: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите неравенство 
Решение. Основание логарифма равно 1 при х = 4, и больше 1 при прочих значениях переменной. Поэтому
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же сумму положил на два года в другой банк под 15% годовых. Через два года Паша решил продлить срок вклада еще на 2 года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла уже p% годовых. В итоге через четыре года на счету у Паши оказалась большая сумма, чем у Саши, причем эта разность составила менее 10% от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное целое значение процентной ставки.
Решение. Предположим, что Саша и Паша первоначально положили в банк S руб.
Динамика прироста вклада Саши. К концу 4 года хранения денежных средств на счету Саши оказалось 1,14S = 1,4641S руб.
Динамика прироста вклада Паши.
К концу второго года на счету Паши оказалось 1,152S = 1,3225S руб. А к концу же четвертого года — 
руб.
Разность образованных сумм обоих вкладов составила 
руб., что меньше числа 0,1S.
Решим неравенство:
Поскольку условием задачи требуется найти наибольшее возможное целое значение процентной ставки, таким значением будет число 8.
Ответ: 8%.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Точки E и K — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точке O.
а) Докажите, что вокруг четырёхугольника ABOK можно описать окружность.
б) Найдите AO, если сторона квадрата равна 1.
Решение. а) Треугольники BCE и CDK равны по двум катетам, следовательно,
то есть прямая BE перпендикулярна прямой CK. Тогда в четырёхугольнике ABOK: ∠BAK = ∠BOK = 90°. Поэтому вокруг него можно описать окружность.
б) Введём систему координат, как показано на рисунке. В этой системе 
Уравнение прямой KC: 
уравнение прямой BE: 
Координаты точки O найдём из системы уравнений
Тогда расстояние между 
и 
равно
Ответ: б) 1.
Приведём другое решение п. а).
Повернём треугольник BCE на 90° по часовой стрелке и параллельным переносом совместим точку B с точкой C. Тогда треугольник BCE наложится на CKD, прямая BE совпадет с прямой CK. Поскольку после поворота прямые совпали, до поворота угол между ними был 90°.
Приведём другое решение п. б).
Прямоугольные треугольники BCE и BAK равны по двум катетам, значит, 
то есть на хорды AO и AB описанной около четырёхугольника ABOK окружности опираются равные углы. Таким образом, 
Приведём решение п. б) Андрея Плюхина.
Продолжим отрезок CK до точки F пересечения с прямой AB. Прямоугольные треугольники KDC и KAF равны по катету и острому углу, поэтому AF = ВС = 1, а точка A — середина BF.
Точка O принадлежит окружности с центром в точке A и диаметром BF, поскольку эта точка — вершина прямого угла, стягивающего диаметр BF. Следовательно, AO = AB = AF = 1 — радиус этой окружности.
Второй абзац этого решения можно заменить таким рассуждением: из суммы углов получаем, что угол FOB прямой, следовательно, АО является медианой прямоугольного треугольника и равна половине гипотенузы.
Приведём решение Дениса Чернышева (Тюмень).
а) Вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противолежащих углов равны 180°. По условию ABCD — квадрат, в нем угол А прямой. Докажем, что угол KOB прямой. Имеем:
Значит,
Стороны квадрата равны, поэтому 
Значит, скалярное произведение равно нулю, а тогда
б) Необходимо найти модуль вектора 
Запишем его в виде
где 
По теореме Пифагора из треугольника DCK находим:
Прямоугольные треугольники DCK и OCE подобны, поскольку имеют общий острый угол. Значит, 
откуда
Следовательно,
Подставим найденный коэффициент x в выражение для вектора 
получим:
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Решение. Заметим, что
Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.
Ординаты точек пересечения параболы 
и прямой 
найдём из уравнения 
Получаем 
или 
Ординаты точек пересечения параболы и прямой 
найдём из уравнения 
Получаем или 
Ровно два решения исходное уравнение имеет при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от исходного только включением точки 4 | 3 |
| Верно рассмотрен хотя бы один из случаев и получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением точек −5; 3 и/или 4 ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения | 2 |
| Задача сведена к исследованию: взаимного расположения параболы и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.
а) Может ли быть записано число 250?
б) Можно ли обойтись без числа 11?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?
Решение. а) Пусть на доске написано число 250 и 99 других различных натуральных чисел. Минимально возможная сумма чисел на доске достигается при условии, что сумма 99 различных натуральных чисел минимальна. А это, в свою очередь, возможно, если 99 различных натуральных числа - арифметическая прогрессия с первым членом 
и разностью 
Сумма 
этих чисел, по формуле суммы арифметической прогрессии, составит:
Сумма всех чисел на доске S будет равна:
Не трудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5100, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых есть 250, больше 5100, следовательно, числа 250 на доске быть не может.
б) Пусть на доске не записано число 11. В таком случае, минимально возможная сумма S чисел на доске будет состоять из двух сумм арифметических прогрессий: суммы 
первых 10 членов прогрессии с первым членом
разностью 
(то есть ряда 1,2,3,..10) и суммы первых 90 членов прогрессии с первым членом
разностью (то есть ряда 12,13,14,..101). Найдем эту сумму:
Не трудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5100, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых нет 11, больше 5100, следовательно, без числа 11 на доске обойтись нельзя.
в) Допустим, что на доске выписаны все числа от 1 до 100. Тогда получается, что полученный ряд составляет арифметическую прогрессию с первым членом разностью По формуле для суммы арифметической прогрессии найдем сумму 
всех чисел на доске
Полученная сумма не удовлетворяет условию задачи. Теперь, чтобы увеличить сумму всех чисел, написанных на доске до обозначенной в условии, попробуем заменить числа, кратные 11 на другие числа, следующие за сотней: 77 заменим на 103, 88 на 102, а 99 на 101. Полученная сумма S будет равна:
Подправим сумму S: заменим число 101 на число 109, окончательно получим:
При дальнейшей замене чисел, кратных 11 на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться и не соответствовать условию задачи. Таким образом, наименьшее количество чисел, кратных 11 равно 6.
Приведем другое решение пункта в).
Приведем пример, когда на доске написано шесть чисел, кратных 11 (11, 22, 33, 44, 55, 66):
1, 2, ... , 76, 78, 79, ... , 87, 89, 90, ... , 98, 100, 101, 102, 103.
Докажем, что на доске не может быть меньше шести чисел, делящихся на 11 без остатка. Чтобы убрать максимальное количество чисел, кратных 11, необходимо, чтобы разности между новыми и старыми числами были минимальны. То есть заменять надо наибольшие числа, кратные 11, на наименьшие возможные числа, большие ста. Пусть количество чисел, кратных 11, равно 5. Тогда минимальная сумма записанных на доске чисел равна:
Полученная сумма больше, чем 5100. При дальнейшей замене чисел, кратных 11, на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться, значит, на доске не может быть меньше шести чисел, кратных 11.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение п. a; ― обоснованное решение п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |