Около тра­пе­ции опи­са­на окруж­ность. Пе­ри­метр тра­пе­ции равен 22, сред­няя линия равна 5. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции.

Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат век­то­ра

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна 12. Па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, де­ля­щее вы­со­ту в от­но­ше­нии 1 : 1, счи­тая от вер­ши­ны ко­ну­са. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти отсечённого ко­ну­са.

На та­рел­ке 16 пи­рож­ков: 7 с рыбой, 5 с ва­ре­ньем и 4 с виш­ней. Юля на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с виш­ней.

Иг­раль­ный кубик бро­са­ли до тех пор, пока сумма всех вы­пав­ших очков не пре­вы­си­ла число 3. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что для этого по­тре­бо­ва­лось ровно два брос­ка? Ответ округ­ли­те до ты­сяч­ных.

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y  =  f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−4; 4). Най­ди­те ко­рень урав­не­ния f '(x)  =  0.

Мяч бро­си­ли под углом к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Время полeта мяча (в се­кун­дах) опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле При каком зна­че­нии угла (в гра­ду­сах) время полeта со­ста­вит 3 се­кун­ды, если мяч бро­са­ют с на­чаль­ной ско­ро­стью м/⁠с? Счи­тай­те, что уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния м/с

Из двух го­ро­дов, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 560 км, нав­стре­чу друг другу од­но­вре­мен­но вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Через сколь­ко часов ав­то­мо­би­ли встре­тят­ся, если их ско­ро­сти равны 65 км/⁠ч и 75 км/⁠ч?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 12, а бо­ко­вое ребро SA равно 8. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, вер­ши­ной ко­то­рой яв­ля­ет­ся точка C, а ос­но­ва­ни­ем  — се­че­ние пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2018 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга.

Сколь­ко руб­лей не­об­хо­ди­мо взять в банке, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми, и банку будет вы­пла­че­но 311 040 руб­лей?

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой   — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BCD, если из­вест­но, что ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти равен 4, а ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти равен 1.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

На шести елках сидят шесть сорок  — по одной на каж­дой елке. Елки рас­тут в ряд с ин­тер­ва­лом в 10 м. Если какая-⁠то со­ро­ка пе­ре­ле­та­ет с одной елки на дру­гую, то какая-⁠ни­будь дру­гая со­ро­ка обя­за­тель­но пе­ре­ле­та­ет на столь­ко же мет­ров, но в об­рат­ном на­прав­ле­нии.

а)  Могут ли все со­ро­ки со­брать­ся на одной елке?

б)  А если сорок и елок семь?

в)  А если елки стоят по кругу?