PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.
На координатной плоскости изображены векторы
и 
Вектор 
разложен по двум неколлинеарным векторам 
и 
где k и l — коэффициенты разложения. Найдите k.
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите его площадь поверхности.
В классе 26 учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Решите уравнение 
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Найдите значение выражения 
если 
а 
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле 
где 
км
Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
На рисунке изображён график функции
Найдите 
Найдите наибольшее значение функции 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что 
а) Докажите, что угол между прямыми 
и BC равен 
б) Найдите объём цилиндра.
Решите неравенство 
15-го января планируется взять кредит в банке на сумму
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев?
В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника AOM, если 
и 
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
На конкурсе «Мисс−261» выступление каждой участницы оценивают шесть судей. Каждый судья выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление участницы С все члены жюри выставили различные оценки. По старой системе оценивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются две наибольшие оценки, и считается среднее арифметическое четырех оставшихся оценок.
а) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной 18?
б) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной 
в) Найдите наименьшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
находим:
Выбрать пару «Андрей и Сергей» и поместить их в одну из двух групп можно 
способами. Добавить в эту группу еще 11 из оставшихся 24 учащихся можно 
способами. Поэтому вероятность того, что мальчики окажутся в одной группе, равна 
Если Андрей уже находится в первой группе, то вероятность того, что Сергей окажется в этой же группе, равна 
Поскольку обе группы равноправны, вероятность того, что друзья окажутся в одной группе, равна
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что мальчики окажутся в одной группе, равна 1 − 0,52 = 0,48.
— верно,
— верно.
и 
при заданном значении R:
метра.
Но в таком виде формула менее удобна, поскольку при каждом вычислении рост человека необходимо переводить в километры. Вот почему иногда в физике или технике формулы выводят так, чтобы величины в них были выражены хоть и в несогласованных, но удобных для вычислений единицах. 
Удельное сопротивление ρ в таблицах физических величин приводится в 
Поэтому чтобы сопротивление было в омах, длину l подставляют в формулу в метрах, а сечение S — в квадратных миллиметрах (но не в квадратных метрах, как могло бы показаться неопытному читателю). Подумайте, почему принято именно так.
а за 
откуда 
Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней. 
— интервал 
По рисунку определяем область определения данной функции: 
значит, 
Учитывая, что 
найдём a.
Найдём значение 
возрастающая, она достигает наибольшего значения в той точке, в которой достигает наибольшего значения выражение, стоящее под знаком логарифма. Квадратный трехчлен 
с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке 
Значит, указанному отрезку принадлежит только корень −2.
и 
Для таких значений переменной числитель и знаменатель аргумента логарифма положительны, поэтому, учитывая равенство 
имеем:
млн руб.
Поскольку прямые CO и DO перпендикулярны, получаем:
Значит, 
Если 
то 
— два корня. Если 
тогда 
— единственный корень.
Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет корни, из которых ровно один больше 1, и при этом 
не является корнем.
имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:
уравнение 
имеет единственный корень 
В этом случае исходное уравнение имеет единственный корень 
уравнение 
имеет единственный корень 
В этом случае исходное уравнение имеет два корня.
является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение 
Ответ отличается от верного только включением точек 
или 
а итоговый балл по новой системе не меньше 
Поэтому разность итоговых баллов не может быть больше 6.
Тогда разность итоговых баллов равна
нецелое.
а вычитаемое 
Следовательно, разность итоговых баллов не меньше 1. Значение 1 достигается, например, при оценках 0, 1, 2, 3, 4, 5.