PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Острый угол В прямоугольного треугольника равен 66°. Найдите угол между высотой СН и медианой СМ, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Даны векторы 
и 
Найдите скалярное произведение 
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна
Найдите радиус сферы.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,91. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.
Найдите корень уравнения: 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен график функции f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a = 5000 км/ч2. Скорость вычисляется по формуле 
где l — пройденный автомобилем путь в км. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 100 км/ч.
Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
На рисунке изображены графики функций
и 
которые пересекаются в точках
Найдите точку максимума функции 
a) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провели плоскость α, образующую сечение ABMN, где M и N — точки пересечения плоскости α с боковыми рёбрами SC и SD соответственно. Известно, что 
а) Докажите, что точки M и N делят ребра SC и SD в отношении 1 : 3, считая от вершины S.
б) Найдите косинус угла между плоскостью основания ABCD и плоскостью α.
Решите неравенство 
15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A миллионов рублей на срок 48 месяцев. Условия возврата кредита таковы:
— 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— с 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2030 года долг должен быть полностью погашен.
Чему равно A, если общая сумма платежей в 2030 году составит 6390 тысяч рублей?
В треугольнике ABC проведены высота AH и медиана AM, угол ACB равен 30°. Точка H лежит на отрезке BM. В треугольнике ACM проведена высота MQ. Прямые MQ и AH пересекаются в точке F. Известно, что AM — биссектриса угла HAC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника CFM, если AB = 10.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 567?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат n2. Найдите наименьшее возможное значение n.
Следовательно, углы A и ACM равны как углы при основании равнобедренного треугольника АМС. Основание высоты ближе к вершине большего острого угла. Имеем: 
радиус сферы равен 7.
поскольку события 
Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB, поэтому
км/ч
Первый велосипедист прибыл к финишу на 1 час раньше второго, отсюда имеем: 
Тогда 
Теперь найдем абсциссу 
б) 
—
и 
имеют одинаковые знаки. Получим:
откуда AH = AQ и AC = 2AQ. Далее, AQ = QC, а из равных прямоугольных треугольников AQM и CQM находим: AM = MC. Получаем, что отрезок AM — медиана, равная половине стороны, к которой проведена. Из этого следует, что при вершине A треугольника ABC расположен прямой угол.
откуда
а потому смежный с ним 
В четырехугольнике AQMH сумма градусных мер противолежащих углов равна 180°, значит, он вписанный. Отсюда 
и, как следствие, 
Из равных прямоугольных треугольников AQM и CQM находим AM = MC. Получаем, что отрезок AM — медиана, равная половине стороны, к которой проведена. Из этого следует, что при вершине A треугольника ABC расположен прямой угол.
значит, 
Далее 
как вертикальные углы, откуда в прямоугольном треугольнике FHM получаем 
и 
Следовательно, 
и
тогда 
Раскроем модули:
значение функции 
равно 
На 
функция 
причем каждое ровно один раз. Поскольку исходное уравнение должно иметь ровно два различных корня, квадратное уравнение 
должно иметь два решения, каждое из которых отлично от −4. Тогда 
и 
:
Следовательно, n2 не может при делении на 4 давать остаток 3, а именно такой остаток дает число 567.
и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы 
было кратно 28. Число 1 является наименьшим натуральным числом и удовлетворяет этому условию. В качестве остальных девяти чисел можно взять числа 
произведение равно 42, оно не кратно 28. При 
произведение равно 56, оно подходит. Значит, наименьшее подходящее n равно 8. В качестве примера можно взять числа 8, 64 и любые другие 8 чисел, дающие при делении на 28 остаток 8.