РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 83520464

Задания 19 ЕГЭ–2025

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а)  Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б)  Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в)  Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Решение. Пусть a юношей отправили по 5 писем и b юношей отправили по 16 писем. Тогда количество девушек a + b, количество отправленных писем 5a + 16b.

а)  Спрашивается, имеет ли уравнение $5a плюс 16b = 7 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка$ решение. Запишем его в виде 2a  =  9b. Ясно, что числа a  =  9 и b  =  2 являются одним из решений. То есть если 9 юношей отправили по 5 писем и двое юношей отправили по 16 писем, то всего они отправили 77 писем, которые можно распределить между 11 девушками так, чтобы каждая получила ровно 7 писем.

б)  Общее количество писем 5a + 16b должно делиться на количество девушек a + b без остатка. Заметим, что тогда в силу тождества $11b = левая круглая скобка 5a плюс 16b правая круглая скобка минус 5 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка ,$ число 11b также должно делиться на a + b. Если a + b не делится на 11, то b делится на a + b, что противоречит условиям $a больше 1,$ $b больше 1.$ Значит, a + b делится на 11. Наименьшее натуральное число, делящееся на 11,  — это 11. Пример того, что девушек может быть ровно 11, приведён в предыдущем пункте.

в)  Пусть a юношей отправили по 5 писем и n – a юношей отправили по 16 писем. Тогда суммарно они отправили $5a плюс 16 левая круглая скобка n минус a правая круглая скобка$ писем, а число полученных девушками писем не меньше

$0 плюс 1 плюс \ldots плюс левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Получаем

$5a плюс 16 левая круглая скобка n минус a правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$

откуда $16n больше дробь: числитель: n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$ то есть $n меньше 33.$

При n  =  32 имеем $512 минус 11 a больше или равно 496,$ откуда $11a меньше или равно 16,$ что противоречит условию $a больше или равно 2.$

Если n  =  31, a  =  2, то суммарное количество отправленных писем равно $2 умножить на 5 плюс 29 умножить на 16 = 474.$ Эти письма можно распределить между девушками следующим образом: 30 девушек получили от 0 до 29 писем и ещё одна  — 39. Таким образом, наибольшее возможное количество девушек  — это 31.

Ответ: а)  да, б)  11, в)  31.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-⁠то юноша отправил какой-⁠то девушке несколько писем.

а)  Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

Решение. Пусть a юношей отправили по 4 письма и b юношей отправили по 21 письму. Тогда количество девушек $a плюс b,$ количество отправленных писем $4a плюс 21b.$

а)  Спрашивается, имеет ли уравнение $4a плюс 21b=7 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка$ решение. Запишем его в виде $3a=14b.$ Ясно, что числа $a=14,$ и $b=3$ являются одним из решений. То есть если 14 юношей отправили по 4 письма и трое юношей отправили по 21 письму, то всего они отправили 119 писем, которые можно распределить между 17 девушками так, чтобы каждая получила ровно 7 писем.

б)  Общее количество писем $4a плюс 21b$ должно делиться на количество девушек $a плюс b$ без остатка. Заметим, что тогда в силу тождества $17b= левая круглая скобка 4a плюс 21b правая круглая скобка минус 4 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка ,$ число $17b$ также должно делиться на $a плюс b.$ Если $a плюс b$ не делится на 17, то b делится на $a плюс b,$ что противоречит условиям $a больше 1,b больше 1.$ Значит, $a плюс b$ делится на 17. Наименьшее натуральное число, делящееся на 17,  — это 17. Пример того, что девушек может быть ровно 17, приведён в предыдущем пункте.

в)  Пусть a юношей отправили по 4 письма и $n минус a$ юношей отправили по 21 письму. Тогда суммарно они отправили $4a плюс 21 левая круглая скобка n минус a правая круглая скобка$ писем, а число полученных девушками писем не меньше

$0 плюс 1 плюс ... плюс левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Получаем

$4a плюс 21 левая круглая скобка n минус a правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$

откуда $21n больше дробь: числитель: n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби равносильно n меньше 43.$

При $n=42$ имеем $882 минус 17a больше или равно 861 равносильно 17a меньше или равно 21,$ что противоречит условию $a\geqslant2.$

Если $n=41,a=2,$ то суммарное количество отправленных писем равно $2 умножить на 4 плюс 39 умножить на 21=827.$ Эти письма можно распределить между девушками следующим образом: 40 девушек получили от 0 до 39 писем и ещё одна  — 47. Таким образом, наибольшее возможное количество девушек  — это 41.

Ответ: а)  да; б)  17; в)  41.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение п. a; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23.

а)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?

б)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?

в)  Найдите наибольшее возможное значение k.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 25, меньше, чем чисел, делящихся на 29.

а)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 25?

б)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 25?

в)  Найдите наибольшее возможное значение k.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

а)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?

б)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?

в)  Найдите наибольшее возможное значение k.

а)  Да, например, среди чисел в диапазоне от 69 до 138 числа 80, 100 и 120 кратны 20, а числа 69, 92, 115, 138 кратны 23.

б)  Нет. Разобьем все числа на группы по 20, начиная с первого числа. Тогда в каждой группе будет ровно одно число, кратное 20. Заметим, что последняя группа, возможно, будет неполной и/или не будет содержать число, кратное 20. Значит, общее количество чисел не превосходит $10 умножить на 20 плюс 19 = 219.$ Теперь рассмотрим крайние числа, кратные 23. Пусть это 23x и 23y. Тогда $y минус x больше или равно 10$ (иначе чисел не 11), и $23y минус 23x = 23 левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка больше или равно 230,$ что невозможно для 219 чисел.

в)  Пусть среди данных чисел есть x чисел, кратных 20. Тогда согласно пункту б) общее количество чисел не больше 20x + 19. C другой стороны, разность между крайними числами, кратными 23, должна быть не менее 23x, поэтому общее количество чисел не меньше 23x + 1. Имеем:

$23x плюс 1 меньше или равно 20x плюс 19 равносильно 3x меньше или равно 18 равносильно x меньше или равно 6,$

то есть $20x плюс 19 меньше или равно 139.$

Взять 139 чисел можно. Например, подойдут числа от 161 до 299  — среди них 6 чисел кратны 20 и 7 чисел кратны 23.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  139.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021.

а)  Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?

б)  Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?

в)  Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом n. Найдите наименьшее возможное значение n.

Решение. Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 3, 4, 5, 6: если взять два, три, четыре или пять других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 3, 4, 5 и 6, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух написанных чисел кратна 3, 4, 5 и 6, а потому кратна их наименьшему общему кратному  — числу 60. Таким образом, все написанные числа дают одинаковые остатки от деления на 60  — такие же как число 30 021, то есть 21, и имеют вид 60k + 21. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма трех, четырех, пяти или шести из них будет кратна 3, 4, 5 и 6.

а)  Число 351 при делении на 60 дает остаток 51, поэтому оно не подходит.

б)  Заметим, что

$11 левая круглая скобка 60k плюс 21 правая круглая скобка = 660k плюс 231 = 60 левая круглая скобка 11k плюс 3 правая круглая скобка плюс 51,$

то есть при умножении на 11 остаток от деления на 60 изменится, и новое число не будет среди написанных.

в)  Нужно, чтобы $n левая круглая скобка 60k плюс 21 правая круглая скобка$ тоже давало остаток 21 при делении на 60, то есть чтобы число

$n левая круглая скобка 60k плюс 21 правая круглая скобка минус 21 = 60kn плюс 21 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$

было кратно 60. Первое слагаемое кратно 60, а для второго требуется, чтобы $n минус 1$ было кратно 20, то есть $n больше или равно 21.$

В качестве примера для $n=21$ можно взять числа 30 021, 21, $441 = 21 умножить на 21$ и любые другие семь чисел, дающие при делении на 60 остаток 21.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  21.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 032.

а)  Может ли среди записанных на доске чисел быть число 312?

б)  Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 6?

Решение. Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 3, 4, 5, 6: если взять два, три, четыре или пять других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 3, 4, 5 и 6, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух чисел кратна 3, 4, 5 и 6, а потому кратна их наименьшему общему кратному  — числу 60. Следовательно, все числа дают одинаковые остатки от деления на 60  — такие же как 30 032, то есть 32, и имеют вид 60k + 32. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма трех, четырех, пяти или шести из них будет кратна 3, 4, 5 и 6.

а)  Число 312 при делении на 60 дает остаток 12, поэтому оно не подходит.

б)  Имеем

$6 левая круглая скобка 60k плюс 32 правая круглая скобка = 360k плюс 192 = 60 левая круглая скобка 6k плюс 3 правая круглая скобка плюс 12,$

то есть при умножении на 6 остаток от деления на 60 изменится, и новое число не будет среди написанных.

в)  Нужно, чтобы $n левая круглая скобка 60k плюс 32 правая круглая скобка$ тоже давало остаток 32 при делении на 60, то есть чтобы $n левая круглая скобка 60k плюс 32 правая круглая скобка минус 32 = 60kn плюс 32 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ было кратно 60. Первое слагаемое кратно 60, а для второго требуется, чтобы $n минус 1$ было кратно 15, то есть $n больше или равно 16.$

В качестве примера можно взять числа 30 032, 32, 512  =  32 · 16 и любые другие 7 чисел, дающие при делении на 60 остаток 32.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  16.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 035.

а)  Может ли среди записанных на доске чисел быть число 325?

б)  Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 7?

Решение. Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 3, 4, 5, 6: если взять два, три, четыре или пять других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 3, 4, 5 и 6, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух написанных чисел кратна 3, 4, 5 и 6, а потому кратна их наименьшему общему кратному  — числу 60. Таким образом, все написанные числа дают одинаковые остатки от деления на 60  — такие же как 30 035, то есть 35, и имеют вид 60k + 35. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма трех, четырех, пяти или шести из них будет кратна 3, 4, 5 и 6.

а)  Число 325 при делении на 60 дает остаток 25, поэтому оно не подходит.

б)  Имеем

$7 левая круглая скобка 60k плюс 35 правая круглая скобка = 420k плюс 245 = 60 левая круглая скобка 7k плюс 4 правая круглая скобка плюс 5,$

то есть при умножении на 7 остаток от деления на 60 изменится, и новое число не будет среди написанных.

в)  Нужно, чтобы $n левая круглая скобка 60k плюс 35 правая круглая скобка$ тоже давало остаток 35 при делении на 60, то есть чтобы

$n левая круглая скобка 60k плюс 35 правая круглая скобка минус 35 = 60kn плюс 35 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$

было кратно 60. Первое слагаемое кратно 60, а для второго требуется, чтобы $n минус 1$ было кратно 12, откуда $n больше или равно 13.$

В качестве примера для $n=13$ можно взять числа 30 035, 35, 455  =  35 · 13 и любые другие семь чисел, дающие при делении на 60 остаток 35.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  13.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 033.

а)  Может ли среди записанных на доске чисел быть число 303?

б)  Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 31?

Решение. Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 3, 4, 5, 6. Если взять два, три, четыре или пять других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 3, 4, 5 и 6 значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух написанных чисел кратна 3, 4, 5 и 6, а потому и их наименьшему общему кратному  — числу 60. Таким образом, все написанные числа дают одинаковые остатки от деления на 60  — такие же как 30 033, то есть 33, и имеют вид 60k + 33. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма трех, четырех, пяти или шести из них будет кратна 3, 4, 5 и 6.

а)  Число 303 при делении на 60 дает остаток 3, поэтому оно не подходит.

б)  Имеем

$31 левая круглая скобка 60k плюс 33 правая круглая скобка = 1860k плюс 1023 = 60 левая круглая скобка 31k плюс 17 правая круглая скобка плюс 3,$

то есть при умножении на 31 остаток от деления на 60 изменится, и новое число не будет среди написанных.

в)  Нужно, чтобы $n левая круглая скобка 60k плюс 33 правая круглая скобка$ тоже давало остаток 33 при делении на 60, то есть чтобы число

$n левая круглая скобка 60k плюс 33 правая круглая скобка минус 33 = 60kn плюс 33 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$

было кратно 60. Первое слагаемое кратно 60, а для второго требуется, чтобы $n минус 1$ было кратно 20, откуда $n больше или равно 21.$

В качестве примера для $n=21$ можно взять числа 30 033, 33, $693 = 33 умножить на 21$ и любые семь чисел, дающих при делении на 60 остаток 33.

Ответ: а)  нет, б)  нет, в)  21.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.

а)  Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?

б)  Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563?

в)  Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и n².

Решение. Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 4 или 7: если взять три или шесть других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 4 или 7, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух чисел кратна 4 и 7, а потому и их наименьшему общему кратному  — 28. Значит, все числа дают одинаковые остатки от деления на 28. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма четырех или семи из них будет кратна 4 или 7.

а)  Число 563 при делении на 28 дает остаток 3, а число 1417  — остаток 17, поэтому они не подходят.

б)  Заметим, что квадраты четных чисел кратны 4, а квадраты нечетных представимы в виде $левая круглая скобка 4x \pm 1 правая круглая скобка в квадрате = 16x в квадрате \pm 8x плюс 1.$ Следовательно, n² не может при делении на 4 давать остаток 3, а именно такой остаток дает число 563.

$29 = 28 умножить на 1 плюс 1,$

$57 = 28 умножить на 2 плюс 1,$

$85 = 28 умножить на 3 плюс 1$

$\ldots,$

дающие при делении на 28 остаток 1.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  1.

Примечание.

Проверяющим ЕГЭ экспертам были присланы решения, подразумевающие, что число и его квадрат должны быть различными. В этом случае наименьшим искомым числом является 13. Приведем соответствующее рассуждение.

в)  Требуется, чтобы n² при делении на 28 также давало в остатке 1, то есть чтобы $n в квадрате минус 1 = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка$ было кратно 28. Заметим, что один из множителей должен быть четным, что повлечет за собой четность второго, поскольку они отличаются на 2. Более того, один из множителей должен нацело делиться на 7. Минимальное натуральное четное число, кратное 7  — это 14, откуда n  =  13. В качестве примера можно выбрать числа 1, 169  =  13² и еще 8 любых других чисел, дающих при делении на 28 остаток 1.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

10.  

На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел из записанных является целым числом.

а)  Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414?

б)  Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 567?

в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат n². Найдите наименьшее возможное значение n.

Решение. Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 4 или 7: если взять три или шесть других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 4 или 7, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух написанных чисел кратна 4 и 7, а потому и их наименьшему общему кратному  — числу 28. Значит, все числа дают одинаковые остатки от деления на 28. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма четырех или семи из них будет кратна 4 или 7.

а)  Число 567 при делении на 28 дает остаток 7, а число 1414  — остаток 14, поэтому они не подходят.

$29 = 28 умножить на 1 плюс 1,$

$57 = 29 умножить на 2 плюс 1,$

$85 = 29 умножить на 3 плюс 1$

$\ldots,$

дающие при делении на 28 остаток 1.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  1.

Примечание.

Проверяющим ЕГЭ экспертам были присланы решения, подразумевающие, что число и его квадрат должны быть различными. В этом случае наименьшим искомым числом является 8. Приведем соответствующее рассуждение.

в)  Нужно, чтобы $n в квадрате$ и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n в квадрате минус n=n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ было кратно 28. Один из множителей должен быть кратен 7. Число 1 не подходит, поскольку рано своему квадрату. При $n=7$ произведение равно 42, оно не кратно 28. При $n=8$ произведение равно 56, оно подходит. Значит, наименьшее подходящее n равно 8. В качестве примера можно взять числа 8, 64 и любые другие 8 чисел, дающие при делении на 28 остаток 8.

Отметим также, что в Москве единицу в пункте в) эксперты засчитывали как верный ответ, а в Вологде неукоснительно следовали присланным решениям и не засчитывали. И на апелляции не засчитали. См. также обсуждение в комментариях ниже.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

11.  

На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых пяти или шести чисел из записанных является целым числом.

а)  Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 602 и 1512?

б)  Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 602?

в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат n² натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

а)  Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414?

в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат n². Найдите наименьшее возможное значение n.

Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 4 или 7: если взять три или шесть других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 4 или 7, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух написанных чисел кратна 4 и 7, а потому и их наименьшему общему кратному  — числу 28. Значит, все числа дают одинаковые остатки от деления на 28. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма четырех или семи из них будет кратна 4 или 7.

а)  Число 567 при делении на 28 дает остаток 7, а число 1414  — остаток 14, поэтому они не подходят.

$29 = 28 умножить на 1 плюс 1,$

$57 = 29 умножить на 2 плюс 1,$

$85 = 29 умножить на 3 плюс 1$

$\ldots,$

дающие при делении на 28 остаток 1.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  1.

Примечание.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

12.  

а)  Приведите пример семизначного числа, из которого, вычеркивая цифры, можно получить каждое из чисел: 206, 835, 930.

б)  Существует ли восьмизначное число, из которого, вычеркивая цифры, можно получить каждое из чисел: 247, 345, 586, 812.

в)  Найдите наименьшее натуральное число, из которого можно получить все натуральные числа от 1 до 50 включительно, вычеркивая цифры.

Решение. а)  Например, из числа 2 983 506 получается каждое из чисел: 206, 835, 930.

б)  В перечисленных числах встречаются все цифры от 1 до 8, значит, каждая из этих цифр должна присутствовать в восьмизначном числе по одному разу. Тогда цифра 4 должна следовать в записи после цифры 2, 5  — после 4, 8  — после 5, 2  — после 8. Таким образом, двойка должна следовать в записи после самой себя, что невозможно.

в)  Заметим, что из искомого числа должны получаться числа 11, 22, 33 и 44, поэтому в его записи должны присутствовать не менее двух единиц, двух двое, двух троек и двух четверок и каждая из остальных цифр. То есть в числе должно быть не меньше 14 цифр. Четырнадцатизначное число 12 341 234 506 789 удовлетворяет условию задачи.

Покажем, что не существует меньшего числа, удовлетворяющего условию задачи. Для каждого разряда числа, начиная от старшего, будем выбирать наименьшую возможную цифру.

Первая цифра не может быть меньше 1. Заметим, что нуль должен идти после четвёрки, поскольку иначе нельзя получить число 40; между двумя единицами должны быть двойка и тройка, поскольку иначе нельзя получить числа 21 и 31, поэтому вторая цифра должна быть 2. Между двумя двойками должна быть тройка, поскольку иначе нельзя получить число 32, поэтому третья цифра должна быть 3. Далее можно использовать по порядку наименьшие оставшиеся цифры, кроме нуля, до тех пор, пока не появится пятерка. После неё должен идти нуль, а затем оставшиеся цифры в порядке возрастания.

Ответ: а)  например, 2 983 506, б)  нет, в)  12 341 234 506 789.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

13.  

На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 15.

а)  Могло ли среди записанных чисел быть больше 5 чисел, делящихся на 16?

б)  Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся на 11?

в)  Найдите наибольшее возможное число k такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на k.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

14.  

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а)  Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби .$

в)  Найдите наибольшее возможное значение выражения $дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — пример в п. а; — верное доказательство в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

15.  

На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

б)  Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби .$

в)  Найдите наибольшее возможное значение выражения $дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби .$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	676908	а)  да, б)  11, в)  31.
2	681173	а)  да; б)  нет; в)  139.
3	681203	а)  да, б)  нет, в)  149.
4	681201	а)  нет; б)  нет; в)  21.
5	681270	а)  нет; б)  нет; в)  16.
6	681277	а)  нет; б)  нет; в)  13.
7	681320	а)  нет, б)  нет, в)  21.
8	681255	а)  нет; б)  нет; в)  1.
9	681322	а)  нет; б)  нет; в)  1.
10	681323	а)  нет; б)  нет; в)  11.
11	681319	а)  например, 2 983 506, б)  нет, в)  12 341 234 506 789.
12	681321	а)  да; б)  нет; в)  17.

Задания 19 ЕГЭ–2025

Ключ