В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Пусть a юношей отправили по 5 писем и b юношей отправили по 16 писем. Тогда количество девушек a + b, количество отправленных писем 5a + 16b.
а) Спрашивается, имеет ли уравнение 
решение. Запишем его в виде 2a = 9b. Ясно, что числа a = 9 и b = 2 являются одним из решений. То есть если 9 юношей отправили по 5 писем и двое юношей отправили по 16 писем, то всего они отправили 77 писем, которые можно распределить между 11 девушками так, чтобы каждая получила ровно 7 писем.
б) Общее количество писем 5a + 16b должно делиться на количество девушек a + b без остатка. Заметим, что тогда в силу тождества 
число 11b также должно делиться на a + b. Если a + b не делится на 11, то b делится на a + b, что противоречит условиям 
Значит, a + b делится на 11. Наименьшее натуральное число, делящееся на 11, — это 11. Пример того, что девушек может быть ровно 11, приведён в предыдущем пункте.
в) Пусть a юношей отправили по 5 писем и 
писем, а число полученных девушками писем не меньше
Получаем
откуда 
то есть 
При n = 32 имеем 
откуда 
что противоречит условию 
Если n = 31, a = 2, то суммарное количество отправленных писем равно 
Эти письма можно распределить между девушками следующим образом: 30 девушек получили от 0 до 29 писем и ещё одна — 39. Таким образом, наибольшее возможное количество девушек — это 31.
Ответ: а) да, б) 11, в) 31.