На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 032.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 312?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 6?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом n. Найдите наименьшее возможное значение n.
Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 3, 4, 5, 6: если взять два, три, четыре или пять других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 3, 4, 5 и 6, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух чисел кратна 3, 4, 5 и 6, а потому кратна их наименьшему общему кратному — числу 60. Следовательно, все числа дают одинаковые остатки от деления на 60 — такие же как 30 032, то есть 32, и имеют вид 60k + 32. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма трех, четырех, пяти или шести из них будет кратна 3, 4, 5 и 6.
а) Число 312 при делении на 60 дает остаток 12, поэтому оно не подходит.
б) Имеем
то есть при умножении на 6 остаток от деления на 60 изменится, и новое число не будет среди написанных.
в) Нужно, чтобы 
тоже давало остаток 32 при делении на 60, то есть чтобы 
было кратно 60. Первое слагаемое кратно 60, а для второго требуется, чтобы 
было кратно 15, то есть 
В качестве примера можно взять числа 30 032, 32, 512 = 32 · 16 и любые другие 7 чисел, дающие при делении на 60 остаток 32.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 16.