PDF-версии: 
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.
Решение. а) Проведем отрезок CC1, параллельный BD, четырехугольник BCC1D — параллелограмм. В треугольнике ACC1:
Заметим, что 
следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ACC1 — прямоугольный с прямым углом ACC1. Тогда 
что и требовалось доказать.
б) Треугольник, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья сторона равна сумме её оснований, равновелик данной трапеции. Поэтому
Ответ: б) 30.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
— параллелограмм. 
поскольку 
тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ACC1 — прямоугольный, угол ACC1 прямой. Тогда угол COD прямой, что и требовалось доказать.
Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P. 
откуда
тогда
откуда
Далее последовательно получаем:
поэтому
Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P. 
и AC = 3.
Следовательно, точки L, O, A лежат на одной прямой.
Таким образом, длина стороны MN равна
тогда 
По свойству описанного четырёхугольника 
тогда 
Таким образом, длина стороны MN равна
тогда в прямоугольном треугольнике LAM с углом 60° находим: 
Таким образом, длина стороны MN равна
откуда AH = AQ и AC = 2AQ. Далее, AQ = QC, а из равных прямоугольных треугольников AQM и CQM находим: AM = MC. Получаем, что отрезок AM — медиана, равная половине стороны, к которой проведена. Из этого следует, что при вершине A треугольника ABC расположен прямой угол.
откуда
а потому смежный с ним 
В четырехугольнике AQMH сумма градусных мер противолежащих углов равна 180°, значит, он вписанный. Отсюда 
и, как следствие, 
Из равных прямоугольных треугольников AQM и CQM находим AM = MC. Получаем, что отрезок AM — медиана, равная половине стороны, к которой проведена. Из этого следует, что при вершине A треугольника ABC расположен прямой угол.
значит, 
Далее 
как вертикальные углы, откуда в прямоугольном треугольнике FHM получаем 
и 
Следовательно, 
и
Следовательно, 
По теореме Менелая для треугольника BMD и секущей OK получим:
Найдем площадь четырехугольника KODM:
тогда 
По свойству прямоугольного треугольника 
Треугольник CHB прямоугольный, 
тогда 
поэтому в треугольнике ACK имеем 
тогда прямые AM и CN перпендикулярны.
и около пятиугольника MNQDP можно описать окружность.
и около пятиугольника PMNQD можно описать окружность.