В ромбе ABCD точки K и L — середины сторон BC и CD соответственно. Прямые AK и AL пересекают диагональ BD в точках P и Q соответственно.
а) Докажите, что SAPQ = SBKP + SDLQ.
б) Известно, что в пятиугольник CKPQL можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба ABCD 
а) Пусть диагонали ромба пересекаются в точке O. Медиана треугольника делит его на два равновеликих, поэтому 
откуда 
Аналогично получаем, что 
Таким образом,
б) В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке P, поэтому 
Аналогично из треугольника ADC 
Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам; положим 
По теореме косинусов в треугольнике PBK:
Окружность, вписанная в пятиугольник CKPQL, вписана и в четырехугольник CKPD. Следовательно, суммы длин его противоположных сторон равны: 
то есть
Тогда 
а по теореме Пифагора в треугольнике BOC:
Окружность, вписанная в четырехугольник CKPD, вписана и в треугольник BCD. Имеем:
Ответ: б) 4.