Заголовок: ЕГЭ−2025. Досрочная волна, резервный день 17.04.2025. Разные города. Вариант Профиматики
Комментарий:
Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
РЕШУ ЕГЭ — математика профильная
Вариант № 83424562

ЕГЭ−2025. Досрочная волна, резервный день 17.04.2025. Разные города. Вариант Профиматики

1.  
i

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AB  =  10, AC = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 91 конец ар­гу­мен­та . Най­ди­те синус A.

2.  
i

Даны век­то­ры \veca левая круг­лая скоб­ка минус 4; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , \vecb левая круг­лая скоб­ка минус 4; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка и \vecc левая круг­лая скоб­ка минус 8; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­ди­те длину век­то­ра \veca минус 6\vecb плюс \vecc.

3.  
i

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 из­вест­но, что BC  =  9, CD  =  3, CC1  =  7. Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, C, D, C1.

4.  
i

В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 25 спортс­ме­нок: 6 из Вен­грии, 7 из Ру­мы­нии, осталь­ные  — из Бол­га­рии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Бол­га­рии.

5.  
i

Иг­раль­ную кость бро­си­ли два раза. Из­вест­но, что два очка не вы­па­ли ни разу. Най­ди­те при этом усло­вии ве­ро­ят­ность со­бы­тия «сумма вы­пав­ших очков ока­жет­ся равна 4».

6.  
i

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния левая круг­лая скоб­ка x плюс 9 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе = минус 216.

7.  
i

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 21 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

8.  
i

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.

9.  
i

Ло­ка­тор ба­ти­ска­фа, рав­но­мер­но по­гру­жа­ю­ще­го­ся вер­ти­каль­но вниз, ис­пус­ка­ет уль­тра­зву­ко­вые им­пуль­сы ча­сто­той 149 МГц. Ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле v = c умно­жить на дробь: чис­ли­тель: f минус f_0 , зна­ме­на­тель: f плюс f_0 конец дроби , где c=1500 м/с  — ско­рость звука в воде, f_0   — ча­сто­та ис­пус­ка­е­мых им­пуль­сов, f  — ча­сто­та отражённого от дна сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мая приёмни­ком (в МГц). Опре­де­ли­те ча­сто­ту отражённого сиг­на­ла в МГц, если ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа равна 10 м/с.

10.  
i

Теп­ло­ход про­хо­дит по те­че­нию реки до пунк­та на­зна­че­ния 336 км и после сто­ян­ки воз­вра­ща­ет­ся в пункт от­прав­ле­ния. Най­ди­те ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния равна 5 км/ч, сто­ян­ка длит­ся 10 часов, а в пункт от­прав­ле­ния теп­ло­ход воз­вра­ща­ет­ся через 48 часов после от­плы­тия из него.

11.  
i

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\dfrackx и g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =ax плюс b, ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

12.  
i

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции y=x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 21x плюс 5.

13.  
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние синус 2x плюс 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

14.  
i

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы ABCDA1B1C1D1 яв­ля­ет­ся ромб ABCD, AB  =  AA1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые A1C и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те объем приз­мы, если A1C  =  BD  =  2.

15.  
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x плюс 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x плюс 4 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant0.

16.  
i

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на пять лет в раз­ме­ре S тыс.руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 30% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг оста­ет­ся рав­ным S тыс. руб­лей;

  — вы­пла­ты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс.руб­лей;

  — к июлю 2031 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те общую сумму вы­плат за пять лет.

17.  
i

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­та CC1 и ме­ди­а­на AA1, при­чем точки A, C, A1 и C1 лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AA1 : CC1  =  3 : 2 и A1C1  =  2.

18.  
i

Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние | синус в квад­ра­те x плюс 2 ко­си­нус x плюс a|= синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус x минус a имеет на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая круг­лая скоб­ка един­ствен­ный ко­рень.

19.  
i

Из пер­вых 22 на­ту­раль­ных чисел 1, 2, ..., 22 вы­бра­ли 2k раз­лич­ных чисел. Вы­бран­ные числа раз­би­ли на пары и по­счи­та­ли суммы чисел в каж­дой паре. Ока­за­лось, что все по­лу­чен­ные суммы раз­лич­ны и не пре­вос­хо­дят 27.

а)  Может ли по­лу­чить­ся так, что сумма всех 2k вы­бран­ных чисел рав­ня­ет­ся 170 и в каж­дой паре одно из чисел ровно в три раза боль­ше дру­го­го?

б)  Может ли число k быть рав­ным 11?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние числа k.