Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы ABCDA1B1C1D1 яв­ля­ет­ся ромб ABCD, AB  =  AA1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые A1C и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те объем приз­мы, если A1C  =  BD  =  2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сколь­ку ABCDA1B1C1D1  — пря­мая приз­ма, пря­мая AA1 пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, то есть AC  — про­ек­ция A1C на плос­кость ABC. ABCD  — ромб, по­это­му пря­мые AC и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая A1C пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BD.

 

б)  Пусть AB  =  AA1  =  a, AC ∩ DB = O. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке A1AC имеем:

A_1C в квад­ра­те =AA_1 в квад­ра­те плюс AC в квад­ра­те рав­но­силь­но 4=a в квад­ра­те плюс AC в квад­ра­те рав­но­силь­но AC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOC имеем:

CD в квад­ра­те =OC в квад­ра­те плюс OD в квад­ра­те рав­но­силь­но a в квад­ра­те =1 плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но AC=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те минус 1 конец ар­гу­мен­та .

Най­дем a:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те минус 1 конец ар­гу­мен­та \underseta боль­ше 1\mathop рав­но­силь­но 4 минус a в квад­ра­те =4 левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но a= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Тогда AC равно: AC=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус 1 конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец ар­гу­мен­та . От­сю­да объём приз­мы равен:

V=AA_1 умно­жить на S_ABCD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из 6 , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: Объем тела, Пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых, Пря­мая че­ты­рех­уголь­ная приз­ма
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025