Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В остроугольном треугольнике ABC проведены высота CC1 и медиана AA1, причем точки A, C, A1 и C1 лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA1 : CC1 = 3 : 2 и A1C1 = 2.
Решение.
Спрятать критерии
а) Если четырехугольник ACA1C1 вписан в окружность, то сторона AC — ее диаметр (так как угол AC1C равен 90°), значит, угол AA1C равен 90°, откуда следует, что отрезок AA1 — медиана и высота, следовательно, AC = AB.
б) Отрезок A1C1 — медиана прямоугольного треугольника CC1B, поэтому 
то есть BC = 4. Пусть 
и 
тогда
откуда 
Следовательно, 
откуда для площади треугольника ABC получаем:
Ответ: б) 
Методы геометрии: Теорема Пифагора
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники