PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Площадь параллелограмма ABCD равна 20. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
Даны векторы
и 
Найдите квадрат длины вектора 
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 60. Найдите объём шара.
В лыжных гонках участвуют 70 спортсменов; 27 из них — из Хорватии, 29 — из Венгрии, оставшиеся — из Словении. Найдите вероятность того, что первым будет выступать спортсмен из Словении.
В коробке 7 синих, 6 красных и 12 жёлтых фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону 
где m0 — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 128 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 1 мг.
На изготовление 396 деталей первый рабочий тратит на 5 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 483 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Найдите точку минимума функции 
принадлежащую промежутку 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и 
Длины боковых рёбер пирамиды SA = 15, SB = 17, 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.
Решите неравенство 
15-го января планируется взять кредит в банке на 29 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15 число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 29-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2,32 млн рублей?
Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.
а) Доказать, что прямые BH и ED параллельны.
б) Найти отношение BH к ED, если 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 330. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в четыре раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в три раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
имеет координаты (−1; −1). Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат. Поэтому вектор 
имеет координаты (4; 6). Длина вектора 
Поэтому квадрат длины вектора равен 52.
при заданных значениях параметров 
и 
На изготовление 396 деталей первый рабочий тратит на 5 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 483 таких же деталей, отсюда имеем:
и положительна при 
Поэтому искомая точка минимума — число 0,2.
б) 
и 
поэтому стороны SA и AB, SA и AD перпендикулярны, значит, ребро SA перпендикулярно плоскости основания пирамиды.
значит, сумма, взятая в кредит, равна 1,45 млн рублей.
откуда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, заключаем, что прямые BH и ED параллельны.
Далее имеем: 
тогда уравнение можно записать в виде
функция 
не принимает положительных значений. При 
функция f принимает только положительные значения и возрастает как произведение положительных возрастающих функций. Заметим, что 
а тогда уравнение (⁎) равносильно уравнению 
тогда уравнение (⁎⁎), а вместе с ним и исходное уравнение имеют хотя бы один корень тогда и только тогда, когда хотя бы один неотрицательный корень имеет уравнение
с центром в точке 
Окружность пересекает вертикальную ось в точках −1 и 1 (см. рис.), уравнение имеет хотя бы одно неотрицательное решение, если 
а станет равна 
получим 
Можно, например, взять 20 чисел, у каждого из которых первая цифра равна 1, а вторая у 10 чисел равна 6, а у остальных 10 равна 7, тогда A и B получатся как раз такими, как нужно. Итак, годятся 10 чисел 16 и 10 чисел 17.
получаем 
что, очевидно, невозможно.
находим: 
откуда получаем:
Кроме того, A и B должны получиться целыми, то есть 3300 – n должно быть кратно 99. Тогда:
Итак, 
и можно взять 18 чисел с первой цифрой 1, 6 из них со второй цифрой 9, а остальные 12 со второй цифрой 8. Тогда 
