Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел равен 128. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.
а) Может ли число 686 являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число 496 являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
Заметим, что 
и 
a) Да. Прогрессия 128, 224, 392, 686 с первым членом 128 и знаменателем 
удовлетворяет условию задачи.
б) Нет. Множитель 31 является простым числом, значит, число 496 может быть только вторым членом этой геометрической прогрессии. Для такой прогрессии знаменатель 
Но тогда, третий член 
является четырёхзначным числом, что противоречит условию.
в) Если прогрессия состоит из трёх членов, то, учитывая, что 
получаем, что знаменатель прогрессии q должен быть меньше трех. При этом, чтобы все члены прогрессии были натуральными, знаменатель прогрессии должен иметь вид 
где 
Запишем эти числа в порядке убывания: 
и проверим их. Если 
то получаем прогрессию 128, 368, 1058 — не подходит. Если 
то получаем прогрессию 128, 352, 968. Наибольшее число равно 968. Меньшие знаменатели прогрессии, дадут меньшие значения третьего члена прогрессии.
Если прогрессия состоит более чем из трёх членов, то, учитывая, что 
получаем, что знаменатель прогрессии должен быть 
При этом чтобы все члены прогрессии были натуральными, знаменатель прогрессии должен иметь вид 
где 
Тогда при k = 4 получим прогрессию 128, 8a, 
в которой всего два натуральных числа, следовательно, k = 1, 2, 3. При k = 3 получим прогрессию 128, 16a, 
в которой при всех a три натуральных числа. Максимальное число будет достигаться при максимальном a = 13 и будет равно 338. При k = 2 получим 
Возможных значений q будет три: 
и 
Если 
то получаем прогрессию 128, 224, 392, 686, 1200,5, ...; наибольшее число равно 686. Если 
то получаем прогрессию 128, 192, 288, 432, 648, 972, 1458, ...; наибольшее число равно 972. Если 
то получаем прогрессию 128, 160, 200, 250, 312,5, ...; наибольшее натуральное число равно 250. При k = 1 единственное возможное a = 3 получим прогрессию из предыдущего пункта с наибольшим числом равным 972.
Значит, наибольшее возможное число равно 972.
Ответ: а) да, б) нет, в) 972.
Примечание.
Другое решение п. в) приведено нами в задачах 563922 и 633396.