PDF-версии: 1. Тип 18 № 563554 
Источники:
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром
Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств
i
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение. Преобразуем уравнение:
Следовательно, уравнение имеет решение 
если 
Для того, чтобы уравнение имело два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение 
(⁎) имело единственное отличное от а решение.
При а = 0 уравнение (⁎) имеет бесконечно много решений, а при всех остальных а — одно: 
Заметим, что корни a и 
совпадают при 
Поэтому искомыми значениями параметра являются 
или 
Ответ: или
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Решение не соответствует ни одному из критериев. | 0 |
Задача сведена к исследованию корней двух уравнений x = a при   при всех a. | 1 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек a = 0 и / или  возможно, с исключением точки  ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только исключением точки  | 3 |
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: или
или 563554
или Классификатор алгебры: Уравнения с параметром
или 
Для того чтобы уравнение имело два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение 
(⁎) имело единственное отличное от −а решение.
Заметим, что корни 
и 
совпадают при 
Поэтому искомыми значениями параметра являются 
или 
или 
при всех a. 
и построим графики левой и правой частей. Из графиков, учитывая, что несовпадающие прямые имеют не более одной общей точки, получим следующее.
два решения есть тогда и только тогда, когда точка A лежит ниже точки B:
то есть при 
два решения есть тогда и только тогда, когда точка C лежит ниже точки D: 
то есть при 
получим
то есть 
имеем:
при 
имеет единственное решение 
Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке:
имеем:
то есть 
или 
пересекает график в двух точках, то есть лежит выше точки пересечения гиперболы с первой прямой либо ниже точки пересечения гиперболы со второй прямой. Таким образом, 
имеет ровно три различных решения?
и 
совпасть не могут, как и решения 
и 
Рассмотрим случаи 
или 
или 
или 
найдем 
или 
Ясно, что две пары решений не могут совпасть ни при каких значениях параметра.
обозначим левую и правую части f(x) и g(x) соответственно и построим графики этих функций. Их графиков получим следующее.
откуда 
то есть при 
откуда 
то есть при 
или 
получаем 
получаем 
система не имеет решений, при 
имеем 
получаем
и 
исходное уравнение имеет один корень 
исходное уравнение не имеет корней; 
исходное уравнение имеет один корень 
исходное уравнение имеет два корня 
и 
Для того чтобы уравнение имело два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы:
имело два решения, отличных от 
При 
уравнение имеет решение 
что не равно 
Следовательно, искомое уравнение имеет решения 
и 
уравнение имеет два решения, если
Для того чтобы уравнение имело ровно два различных решения, необходимо и достаточно выполнения любого из условий а) — в):
имеет два решения, оба отличные от 
одно из которых совпадает с 
Отсюда вытекает, что при 
уравнение имеет единственное решение 
что не равно 
и 
уравнение имеет два решения, если
имеет ровно два решения.
раскроем модули:
возрастает на 
и убывает на 
А при 
возрастает на 
и убывает на 
Отдельно проверим, что при 
функция принимает лишь отрицательные значения.
или 
:
тогда исходное уравнение имеет хотя бы два корня тогда и только тогда, когда уравнение 
получаем линейное уравнение
рассмотрим квадратичную функцию 
с положительным старшим коэффициентом. Учитывая, что случай 
невозможен, получаем, что для того, чтобы квадратное уравнение 
имело хотя бы один положительный корень, достаточно, чтобы выполнялась система условий 
откуда получаем:
получаем ответ.
получаем линейное уравнение
рассмотрим квадратичную функцию 
с положительным старшим коэффициентом. Учитывая, что случай 
получаем ответ.
— решение системы, то пара 
— также решение этой системы. Поскольку система имеет единственное решение, то этим решением может быть только пара 
Таким образом, 
и из второго уравнения получаем:
то второе уравнение системы имеет единственное решение:
а значит, пара (0; 1) является единственным решением системы.
то второе уравнение системы имеет три решения:
а потому система имеет три решения.
при 