Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 563579

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

|x в квадрате минус a в квадрате |=|x плюс a| корень из x в квадрате минус ax плюс 4a

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение:

|x в квадрате минус a в квадрате |=|a плюс x| корень из x в квадрате минус ax плюс 4a равносильно

 равносильно |x плюс a||x минус a| минус |x плюс a| корень из x в квадрате минус ax плюс 4a = 0 равносильно |x плюс a| левая круглая скобка |x минус a| минус корень из x в квадрате минус ax плюс 4a правая круглая скобка = 0 равносильно

 равносильно совокупность выражений система выражений x = минус a,x в квадрате минус ax плюс 4a больше или равно 0, конец системы . левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате = x в квадрате минус ax плюс 4a конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x = минус a,2a в квадрате плюс 4a больше или равно 0, конец системы . a в квадрате минус ax минус 4a = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x = минус a,a меньше или равно минус 2 или a больше или равно 0, конец системы . a левая круглая скобка a минус x минус 4 правая круглая скобка = 0. конец совокупности .

Следовательно, уравнение имеет решение −а, если a меньше или равно минус 2 или a больше или равно 0. Для того, чтобы уравнение имело два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение a левая круглая скобка a минус x минус 4 правая круглая скобка = 0 (⁎) имело единственное отличное от −а решение.

При а = 0 уравнение (⁎) имеет бесконечно много решений, а при всех остальных а  — одно: x=a минус 4. Заметим, что корни  минус a и a минус 4 совпадают при a=2. Поэтому искомыми значениями параметра являются a меньше или равно минус 2 или 0 меньше a не равно 2.

 

Ответ: a меньше или равно минус 2, или 0 меньше a меньше 2, или  a больше 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только исключением точки a = –2.3
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек a = 0 и / или a = 2, возможно, с исключением точки a = –2

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения.

2
Задача сведена к исследованию корней двух уравнений x + a = 0 при x в квадрате минус ax плюс 4a больше или равно 0, a в квадрате минус ax минус 4a=0 при всех a. 1
Решение не соответствует ни одному из критериев.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 563579: 563554 Все

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Задания 18 ЕГЭ–2021
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром