ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 563921 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$|a минус 4|x в степени 4 минус 2ax в квадрате плюс |a минус 30| = 0$

имеет хотя бы два решения.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $x в квадрате =t,$ тогда исходное уравнение имеет хотя бы два корня тогда и только тогда, когда уравнение

$|a минус 4|t в квадрате минус 2at плюс |a минус 30| = 0$

имеет хотя бы один положительный корень.

При $a=4$ получаем линейное уравнение

$минус 8t плюс 26=0 равносильно t= дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби ,$

значит условие задачи выполнено.

При $a не равно 4$ рассмотрим квадратичную функцию $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =|a минус 4|t в квадрате минус 2at плюс |a минус 30|$ с положительным старшим коэффициентом. Учитывая, что случай $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка меньше 0$ невозможен, получаем, что для того, чтобы квадратное уравнение $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =0$ имело хотя бы один положительный корень, достаточно, чтобы выполнялась система условий $D\geqslant0,$ $t_0 больше 0,$ откуда получаем:

Решим отдельно первое неравенство системы

$равносильно a в степени 4 больше или равно левая круглая скобка a в квадрате минус 34a плюс 120 правая круглая скобка в квадрате равносильно a в степени 4 минус левая круглая скобка a в квадрате минус 34a плюс 120 правая круглая скобка в квадрате \geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a в квадрате минус a в квадрате плюс 34a минус 120 правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс a в квадрате минус 34a плюс 120 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно$ $равносильно a в степени 4 больше или равно левая круглая скобка a в квадрате минус 34a плюс 120 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно a в степени 4 минус левая круглая скобка a в квадрате минус 34a плюс 120 правая круглая скобка в квадрате \geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a в квадрате минус a в квадрате плюс 34a минус 120 правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс a в квадрате минус 34a плюс 120 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 17a минус 60 правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате минус 17a плюс 60 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 60, знаменатель: 17 конец дроби меньше или равно a\leqslant5,a\geqslant12. конец совокупности .$

Таким образом, решением системы является совокупность

$совокупность выражений дробь: числитель: 60, знаменатель: 17 конец дроби меньше или равно a меньше 4,4 меньше a\leqslant5,a\geqslant12. конец совокупности .$

Объединяя со случаем $a=4,$ получаем ответ.

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 60, знаменатель: 17 конец дроби ; 5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 12; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 563900: 563921 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 29.06.2021. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 402;

Задания 18 ЕГЭ–2021.

Классификатор алгебры: Уравнение с модулем, Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены, Группировка, Перебор случаев

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь