Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 563676

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

a | x плюс 1| плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка |x минус 1| плюс 2=0

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение в виде a левая круглая скобка |x плюс 1| минус |x минус 1| правая круглая скобка = минус 2 минус |x минус 1| и построим графики левой и правой частей. Из графиков, учитывая, что несовпадающие прямые имеют не более одной общей точки, получим следующее.

При a = 0 нет решений, т. к. левая часть равна 0, а правая не больше −2.

При a больше 0 два решения есть тогда и только тогда, когда точка A лежит ниже точки B: минус 2a меньше минус 4, то есть при a больше 2.

При a меньше 0 два решения есть тогда и только тогда, когда точка C лежит ниже точки D: 2a меньше минус 2, то есть при a меньше минус 1.

Приведем аналитическое решение.

Раскроем модуль при x меньше минус 1, получим

 минус ax минус a минус x плюс 1 плюс ax минус a плюс 2=0 равносильно минус x минус 2a плюс 3=0 равносильно x= минус 2a плюс 3.

Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке:  минус 2a плюс 3 меньше минус 1, то есть a больше 2.

При  минус 1 меньше или равно x \leqslant1 имеем:

ax плюс a минус x плюс 1 плюс ax минус a плюс 2=0 равносильно 2ax минус x плюс 3=0 равносильно левая круглая скобка 1 минус 2a правая круглая скобка x=3,

полученное уравнение не имеет решений при a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , при a не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби имеет единственное решение x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 1 минус 2a конец дроби . Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке:

 система выражений дробь: числитель: 3, знаменатель: 1 минус 2a конец дроби меньше или равно 1, дробь: числитель: 3, знаменатель: 1 минус 2a конец дроби больше или равно минус 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 2 плюс 2a, знаменатель: 1 минус 2a конец дроби меньше или равно 0, дробь: числитель: 4 минус 2a, знаменатель: 1 минус 2a конец дроби больше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений a меньше или равно минус 1,a больше или равно 2. конец совокупности .

При x больше 1 имеем:

ax плюс a плюс x минус 1 минус ax плюс a плюс 2=0 равносильно x плюс 2a плюс 1=0 равносильно x= минус 2a минус 1

Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке, поэтому  минус 2a минус 1 больше 1, то есть a меньше минус 1.

Таким образом, уравнение имеет ровно два различных решения a меньше минус 1 или a больше 2.

 

Ответ: a меньше минус 1 или a больше 2.

 

Приведём решение Елизаветы Зелененькой (Москва).

Решим задачу графическим методом в координатах (x; a). Прямые x + 1 = 0 и x − 1 = 0 разбивают координатную плоскость три области, в каждой из которых модули раскрываются согласно приведенной ниже таблице.

 

Выражение1 область2 область3 область
x + 1++
x − 1+

 

Найдем вид уравнения a | x плюс 1| плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка |x минус 1| плюс 2=0 в каждой из областей. В первой первой области:

 минус ax минус a минус x плюс 1 плюс ax минус a плюс 2 = 0 равносильно минус 2a = x минус 3 равносильно a = минус 0,5x плюс 1,5,

это уравнение прямой с коэффициентом наклона k = −0,5. Во второй области:

ax плюс a – x плюс 1 плюс ax – a плюс 2 = 0 равносильно 2ax – x плюс 3 = 0 равносильно a= дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: 2x конец дроби равносильно  a= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Полученное уравнение задает гиперболу, вертикальной асимптотой которой является ось ординат. В третьей области:

ax плюс a плюс x – 1 – ax плюс a плюс 2 = 0 равносильно 2a = минус x минус 1 равносильно a = минус 0,5x минус 0,5,

это уравнение прямой с коэффициентом наклона k = −0,5. Построим график уравнения (см. рис.), отметим, что гипербола пересекает прямые в точках (−1; 2) и (1; −1).

Исходное уравнение имеет два решения тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая a = const пересекает график в двух точках, то есть лежит выше точки пересечения гиперболы с первой прямой либо ниже точки пересечения гиперболы со второй прямой. Таким образом, a меньше минус 1 или при a больше 2.

 

----------

Дублирует задание 563618.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
4
3
2
1
0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, другие города. Вариант 358 (часть С), Задания 18 ЕГЭ–2021