а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде 
где числа 
— целые, 
б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде 
где числа — целые, 
ровно 130 способами?
в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде где числа — целые, ровно 130 способами?
Каждое число 
однозначно представляется в виде 
где 
и 
Значит, для каждого представления некоторого числа N в виде 
имеет место единственное представление N в виде 
где 
и 
— произвольные целые числа от 0 до 9999. Число способов записать число N в виде равно числу способов записать число N в виде 
а) Для представления числа 1292 в виде 
в качестве n можно взять любое целое число от 0 до 129. При этом 
определено однозначно. Таким образом, искомое число способов равно 130.
б) Повторяя рассуждения предыдущего пункта, несложно показать, что каждое из чисел от 1290 до 1299 представимо в требуемом виде ровно 130 способами.
в) Рассмотрим представление некоторого числа N в виде где n и m — некоторые целые числа от 0 до 9999. Представим m в виде 
где l — цифра единиц числа m, а k — некоторое целое число от 0 до 999. Тогда выполнено:
Найдём все числа K, представимые ровно 130 способами, в виде 
где n — некоторое целое число от 0 до 9999, а k — некоторое целое число от 0 до 999.
Пусть для некоторого числа K представления 
и 
таковы, что 
— наименьшее возможное n, а 
— наибольшее возможное 
Тогда 
или 
иначе бы было представление 
Аналогично 
или 
Заметим, что для любого целого 
такого, что 
имеется представление 
поскольку 
Таким образом, количество представлений равно 
Если 
или 
то представлений больше. Значит, или 
или 
где l — произвольная цифра. Таким образом, искомое количество чисел равно 20.
Ответ: а) 130; б) да; в) 20.